一個(gè)靠“蒙”的公式，為何成了量子力學(xué)的起點(diǎn)？

1900年，一個(gè)叫普朗克的德國教授，遇到了物理史上最尷尬的局面之一：

他靠“蒙”湊出了一個(gè)公式，跟實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)完美吻合，卻完全解釋不了它為什么對(duì)。

接下來的八周，他把自己逼瘋了。

這就是量子力學(xué)誕生前夜的故事。

本文是《量子風(fēng)云錄》第2篇。沒看過第1篇的讀者不用擔(dān)心，本篇可獨(dú)立閱讀。

01 兩塊碎片，拼不出一個(gè)答案

上一期我們講過，經(jīng)典物理在黑體輻射問題上卡住了。

維恩公式管高頻，瑞利-金斯公式管低頻。

各管一攤，誰也管不了全段。

1900年，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家魯本斯拿到了空前精確的黑體輻射數(shù)據(jù)，波長從紅外一直延伸到可見光。

這些數(shù)據(jù)像一份標(biāo)準(zhǔn)答案，擺在理論物理學(xué)家面前。

此時(shí)，在柏林大學(xué)，一位42歲、性格保守的教授——馬克斯·普朗克，已經(jīng)為這個(gè)問題奮斗了六年。

他把電動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)……所有經(jīng)典物理的家當(dāng)全試了一遍。

全都不行。

02 一個(gè)“不體面”的決定

普朗克年輕時(shí)候的肖像

1900年10月7日，星期日。

普朗克去魯本斯家喝茶。

茶敘中，魯本斯給他看了最新的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

普朗克意識(shí)到：機(jī)會(huì)來了。

他做了一個(gè)當(dāng)時(shí)覺得“不體面”、事后被證明是天才的決定：

暫時(shí)拋開理論推導(dǎo)，直接用數(shù)學(xué)工具“蒙”一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式。

只要能吻合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，形式再丑都行。

03 數(shù)學(xué)上的“神來之筆”

普朗克手上只有兩塊碎片：

第一塊：維恩公式——在高頻區(qū)正確。

第二塊：瑞利-金斯公式的趨勢(shì)——在低頻區(qū)，輻射強(qiáng)度跟頻率的平方成正比。

他需要一座橋，把這兩個(gè)在各自領(lǐng)地有效的表達(dá)式連接起來。

用大白話說：找一條曲線，左邊像維恩，右邊像瑞利-金斯，中間平滑過渡。

經(jīng)過幾天嘗試，他得到了一個(gè)公式：

ρ(ν,T) = (8πν2/c3) × [hν/(e^(hν/kT) - 1)]

在這個(gè)公式里，出現(xiàn)了兩個(gè)新常數(shù)：h和k。

此時(shí)，它們只是為了讓公式擬合數(shù)據(jù)而引入的數(shù)學(xué)參數(shù)，沒有任何物理意義。

就像在拼圖里塞進(jìn)兩塊還不知道是什么形狀的碎片。

04 “我愣住了”——公式被驗(yàn)證

1900年10月19日，普朗克在柏林德國物理學(xué)會(huì)的會(huì)議上，謹(jǐn)慎地公布了這個(gè)“僥幸揣測(cè)出來的內(nèi)插公式”。

當(dāng)天晚上，實(shí)驗(yàn)高手魯本斯就迫不及待地將新公式與最精確的數(shù)據(jù)進(jìn)行了逐點(diǎn)比對(duì)。

結(jié)果令人震驚：

在所有波段，從紅外到紫外，普朗克公式與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的吻合程度，幾乎完美到分毫不差。

第二天，魯本斯把這個(gè)消息告訴了普朗克。

普朗克后來回憶：他自己都“愣住了”。

一個(gè)純粹靠數(shù)學(xué)技巧拼湊出來的公式，竟然擁有如此強(qiáng)大的預(yù)言能力。

這就像隨便畫了一條線，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它正好穿過所有已知的點(diǎn)——還預(yù)測(cè)了沒測(cè)過的點(diǎn)。

05 “絕望的八周”：為公式尋找靈魂

成功的喜悅只持續(xù)了一瞬間。

普朗克深知：一個(gè)沒有理論根基、僅靠運(yùn)氣蒙中的公式，價(jià)值有限。

他必須為這個(gè)公式找到深刻的物理解釋。

從10月19日到12月14日，普朗克經(jīng)歷了“一生中最緊張的勞動(dòng)”。

他后來在給友人的信中寫道：

“我徒勞無益地使基本量子和經(jīng)典理論一致的企圖繼續(xù)了許多年，花了我極大的精力……但我知道，這個(gè)問題對(duì)于物理學(xué)是至關(guān)重要的。一個(gè)理論解釋必須以任何代價(jià)非把它找出不可，不管這代價(jià)有多高?！?/em>

他把經(jīng)典物理的所有工具又翻了一遍。

電動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)……

全都不行。

公式要求振子的平均能量不是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)給出的kT，而是一個(gè)奇怪的形式。

怎么從第一性原理推導(dǎo)出這個(gè)表達(dá)式？

普朗克卡住了。

06 孤注一擲的“量子”假設(shè)

走投無路之下，普朗克翻出了玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)力學(xué)。

玻爾茲曼的方法很簡(jiǎn)單：數(shù)數(shù)。

數(shù)一個(gè)系統(tǒng)有多少種可能的微觀狀態(tài)。

普朗克決定：把空腔壁的原子看作一個(gè)個(gè)頻率為ν的諧振子。

然后，數(shù)它們的熵。

為了得到跟他的公式一致的熵，他必須做一個(gè)石破天驚的假設(shè)：

這些諧振子的能量，不能連續(xù)取值。

只能是一份一份的，是最小能量單元ε的整數(shù)倍。

即：E_n = n × ε（n = 0, 1, 2, 3…）

而且，這個(gè)最小能量單元必須跟頻率成正比：

ε = h × ν

這里的h，就是公式中那個(gè)原本沒有意義的數(shù)學(xué)參數(shù)。

現(xiàn)在它有了全新的身份——普朗克常數(shù)。

而k也被確認(rèn)為玻爾茲曼常數(shù)。

這個(gè)假設(shè)意味著：能量交換是不連續(xù)的。

諧振子吸收或發(fā)射輻射，就像在銀行存取款，只能以“hν”為最小單位整存整取。

不能存半個(gè)，也不能取三分之一。

07 量子論的生日，和一個(gè)保守派的掙扎

1900年12月14日，普朗克在德國物理學(xué)會(huì)再次登臺(tái)，報(bào)告了他的理論推導(dǎo)。

這一天，后來被物理學(xué)家索末菲稱為“量子論的誕生日”。

然而，與大眾想象中“革命者”的意氣風(fēng)發(fā)不同，普朗克內(nèi)心充滿了矛盾與不安。

他本質(zhì)上是一個(gè)保守的經(jīng)典物理學(xué)家。

提出“能量子”概念，對(duì)他而言不是一場(chǎng)歡呼勝利的革命，而是一次“孤注一擲的行動(dòng)”，是“絕望”中的最后一搏。

他曾對(duì)自己的兒子說：

“我當(dāng)時(shí)的舉動(dòng)，要么是犯了一個(gè)天大的錯(cuò)誤，要么是做出了物理學(xué)史上最偉大的發(fā)現(xiàn)之一。”

在隨后長達(dá)十余年的時(shí)間里，普朗克都對(duì)自己引入的量子概念感到“后悔”，并多次試圖把它重新塞回經(jīng)典的連續(xù)圖像里。

他曾打過一個(gè)比方：量子化就像“買黃油”——在商店里只能整塊買，但回家后可以隨意切割。

他希望能證明，能量子在本質(zhì)上仍是連續(xù)的。

但歷史證明，他錯(cuò)了。

他親手放出的“量子”精靈，再也無法收回瓶中。

正是這個(gè)他試圖消滅的概念，徹底摧毀了他所珍愛的經(jīng)典物理學(xué)大廈，并開啟了一個(gè)全新的時(shí)代。

普朗克老年肖像

08 這個(gè)公式留下了什么

盡管心懷忐忑，普朗克的工作是劃時(shí)代的。

他的公式做到了四件事：

• 統(tǒng)一了維恩和瑞利-金斯公式，在高頻和低頻下分別退化為二者
• 首次引入了普朗克常數(shù)h——一個(gè)屬于量子世界的全新基本常數(shù)
• 從公式中可自然導(dǎo)出斯特藩-玻爾茲曼定律和維恩位移定律
• 核心思想——能量量子化，成為整個(gè)量子物理的基石

普朗克常數(shù)的現(xiàn)代值：6.62607015 × 10?3? J·s

這個(gè)數(shù)字有多?。?/p>

小到在日常生活里完全感受不到能量是“一份一份”的。

但在原子世界里，它是主宰。

一個(gè)保守教授，用八周絕望的勞動(dòng)，炸掉了自己珍愛一生的經(jīng)典物理大廈。

09 互動(dòng)提問

如果你是1900年的普朗克，自己“蒙”的公式跟實(shí)驗(yàn)完美吻合，但完全解釋不了原因，你會(huì)：

A. 先發(fā)論文占坑，以后慢慢想

B. 死活也要先找到理論依據(jù)再發(fā)表

C. 懷疑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是不是錯(cuò)了

評(píng)論區(qū)選一個(gè)字母，看看多少人跟你一樣。

10 下期預(yù)告

下一期，我們會(huì)看到愛因斯坦如何用一個(gè)更大膽的假設(shè)——“光量子”——把普朗克開啟的量子革命推向新的高度。

那一年是1905年，后來被稱為“愛因斯坦奇跡年”。

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本文是《量子風(fēng)云錄》第2篇