希爾伯特談《幾何基礎》

希爾伯特的《幾何基礎》作為一本集大成之作，毫無疑問涵蓋了希爾伯特有關幾何基礎的所有實質思想。其中放棄描述性定義，用公理來界定概念這一思想尤為關鍵。但《幾何基礎》問世后，邏輯主義的先驅弗雷格很快就致信希爾伯特，對他對概念不加定義——即沒有對“點”、“線”、“之間”等概念的特性進行描述——的做法提出了質疑，希爾伯特也很快回應。正是兩大高手過招，讓我們有機會得以窺見希爾伯特的一手想法。

撰文 | 盧昌海

在杭州念中學時，騎車逛書店是我每天的“午課”，幾乎風雨無阻，我最早的藏書便是那時積聚起來的。只不過，那時淘來的書，經后來幾十年的時光洗禮，除少之又少的若干冊外，多已不存——仿佛年華本身之一去不返。那若干冊中的一冊，乃是德國數學家希爾伯特 (David Hilbert) 的名著《幾何基礎》。

那冊《幾何基礎》之所以經受住了時光洗禮，主要有兩個原因：首先是因為她在任何時代——包括在微不足道的我的有生之年——都是經典，從而不會像那些因年少時眼界不夠而淘來的書那樣，有內容上的遺棄理由；其次是她的素雅裝幀深合我的審美，從而如藝術品一樣讓我珍視——哪怕后來有了以內容而論更好的版本[注1]。

希爾伯特的《幾何基礎》中譯本 (1987 年)這一版的封面圖已很難找到，這是我自己那本的封面翻拍 | 圖源：盧昌海

希爾伯特是一位大師級的數學家，不僅對現代數學的很多方面作出過巨大貢獻，而且是一位高屋建瓴的思想家，是數學哲學三大經典流派之一的形式主義 (Formalism) 的領銜人物，對數學基礎有過深刻思考和精辟著述——后者之中就包含了《幾何基礎》。在希爾伯特的著述中，《幾何基礎》也許是流傳最廣的。此書問世于 1899 年，最初是作為高斯?韋伯紀念碑 (The Gauss-Weber Monument) 在哥廷根落成時出版的紀念刊物 Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in G?ttingen 的第一卷，之后轉為單獨著作不斷修訂再版，在希爾伯特有生之年 (即截至 1943 年) 就出到了第七版，再之后則在他學生貝爾耐斯 (Paul Bernays) 的主導下繼續修訂再版，至希爾伯特誕辰 100 周年時 (即 1962 年) 出到第九版，至高斯 (Carl Friedrich Gauss) 誕辰 200 周年時 (即 1977 年) 出到第十二版。除德文原版外，《幾何基礎》還有大量譯本，涵蓋了法、英、俄、中、日等主要語種，雖非通俗讀物，卻可謂風行世界，甚至比他跟康福森 (Stefan Cohn-Vossen) 合著的真正通俗讀物《直觀幾何》 (Geometry and the Imagination) 還流行得多。

不過，盡管很早就淘來了《幾何基礎》，我對其所展示的希爾伯特的數學基礎思想——尤其是放棄描述性定義，用公理來界定概念這一思想——的理解卻在很大程度上是來自“非正式”渠道，因為是受益于兩位非數學家的表述。

這兩位非數學家分別是美國數學科普作家瑞德 (Constance Reid) 和物理學家愛因斯坦 (Albert Einstein)。其中瑞德的表述出自她 1970 年出版的《希爾伯特》 (Hilbert) 一書，核心文字只有一句[注2]：

[希爾伯特] 若有所思地對同伴們說：在一切幾何命題中，“我們必定可以用桌子、椅子和啤酒杯來代替點、線、面。” 這種樸素的說法，蘊含了他現在打算提出的講演的實質。

這句文字嚴格說并非瑞德之原創，而只是引述了希爾伯特本人“若有所思地對同伴們說”的話——這也不奇怪，因為瑞德并非數學家，數學基礎甚至堪稱薄弱，本就不太可能對希爾伯特的數學基礎思想作出原創性表述[注3]。

愛因斯坦 (Albert Einstein) 的表述則出自他 1921 年在普魯士科學院 (Prussian Academy of Sciences) 所做的一次題為 “幾何學和經驗” (Geometry and Experience) 的講演，核心文字為以下幾句[注4]：

只要數學的命題是涉及實在的，它們就不是可靠的；只要它們是可靠的，它們就不涉及實在。幾何學所處理的對象是以直線、點等等這類詞來表示的。

對于這些對象并不需要假定有任何知識或直覺，而只是以公理的有效性為前提，這些公理是在純粹形式意義上來理解的……幾何學所處理的對象是由公理來定義的。

在公理學的幾何中，“點”、“直線”等詞只不過代表概念的空架子。至于給它們以什么內容，那是同數學無關的。

瑞德和愛因斯坦的這兩組文字都極為精辟，就其所涉及那部分數學基礎思想而言，不僅讓昔日的我受益匪淺，甚至直到今天，在我看來依然比希爾伯特的《幾何基礎》更為明晰——簡直是無可超越。當然，《幾何基礎》作為那部分數學基礎思想的具體實現，總體上絕非任何僅限于文字層面的表述可比，這點亦屬不言而喻。

瑞德和愛因斯坦的這兩組文字本身也各有淵源。其中瑞德的文字——如前所述——是引述了希爾伯特本人，但引述的是言論而非文字。瑞德從未見過希爾伯特，那言論來自何處呢？《希爾伯特》一書由于不是學術著作，并未羅列文獻，但英國數學史學家格雷 (Jeremy Gray) 在《柏拉圖的幽靈》 (Plato's Ghost) 一書中，德國數學家托佩爾 (Michael Toepell) 在“論希爾伯特《幾何基礎》的起源” (On the Origins of David Hilbert's Grundlagen der Geometrie) 一文中，都引述了同樣言論，提供的出處是希爾伯特學生布魯門塔爾 (Otto Blumenthal) 所撰的兩篇希爾伯特生平，分別發表于 1922 年和 1935 年?？紤]到希爾伯特的生平資料之稀少，那極可能亦是瑞德文字的出處[注5]。

至于愛因斯坦，他那組文字并未提到希爾伯特，但主旨跟希爾伯特的數學基礎思想是很相近的：比如“在公理學的幾何中，‘點’、‘直線’等詞只不過代表概念的空架子。至于給它們以什么內容，那是同數學無關的”跟“我們必定可以用桌子、椅子和啤酒杯來代替點、線、面”可謂異曲同工；“幾何學所處理的對象是由公理來定義的”和“這些公理是在純粹形式意義上來理解的”更是不僅精準道出了《幾何基礎》所展示的放棄描述性定義，用公理來界定概念的思想，甚至字面上就體現出了形式主義所推重的“形式”之意[注6]。不過思想雖然相近，那組文字是否受過希爾伯特影響則很難說，因為愛因斯坦本身也是一位高屋建瓴的思想家，他的文字哪怕有所本，也往往深度融合了自己的思考，從而無論就表述還是實質而言，都可視為他自己的思想[注7]——事實上，他那句“只要數學的命題是涉及實在的，它們就不是可靠的；只要它們是可靠的，它們就不涉及實在”在我看來就超出了希爾伯特數學基礎思想的范疇，而展示了物理學家的獨特視角[注8]。

那么希爾伯特本人呢？他是否也留下過類似于瑞德和愛因斯坦所表述的那種闡釋性的文字？尤其是，那句流傳甚廣的“我們必定可以用桌子、椅子和啤酒杯來代替點、線、面”是否有過出自希爾伯特本人的文字版本？這兩個我很久以來不無好奇的問題，就是本文接下來想要探究的。

不過在探究之前，首先可以指出的是，《幾何基礎》作為希爾伯特幾何基礎研究的集大成之作，雖沒有使用類似于瑞德和愛因斯坦所表述的那種闡釋性的文字，在技術性層面上卻毫無疑問涵蓋了所有實質思想。比如《幾何基礎》的開篇之語“讓我們設想三組不同的東西。我們將構成第一組的東西稱之為點……構成第二組的東西稱之為直線……構成第三組的東西稱之為平面……”以及“設想點、直線和平面之間有某種相互關系，用‘之上’，‘之間’，‘合同于’等詞來表示”就很微妙地沒有對“點”、“直線”、“平面”等概念及“之上”、“之間”、“合同于”等關系的特性進行描述，且從語氣上就彰顯出它們是單純作為名稱引入的(事實上，對于“之上”、“之間”、“合同于”等關系，希爾伯特干脆明說了“對這些關系的完整而精確的描述將由幾何公理而得出”)[注9]。這跟歐幾里得的《幾何原本》那樣的古典體系是很不相同的。在《幾何原本》里，比如“點”是被定義為“沒有部分的東西”——這就是所謂描述性定義，重點在于對所定義的東西的特性給予描述?！稁缀位A》顯然一開篇就偏離了這種定義模式。如果說開篇時的這種偏離還算隱晦，那么《幾何基礎》的第二章則將偏離推進到了甚至比“用桌子、椅子和啤酒杯來代替點、線、面”更奇異的程度：在論述幾何公理的相容性時，希爾伯特以平面幾何為例，通過用數偶 (x, y) 代替點，用三元數組 (u, v, w) 代替線，將幾何公理的相容性歸結為了算術公理的相容性[注10]?！白雷?、椅子和啤酒杯”好歹是跟“點、線、面”一樣可以直觀想象的東西，數偶和三元數組則抽象得多，故而更奇異。不過另一方面，“用桌子、椅子和啤酒杯來代替點、線、面”顯然會破壞幾何公理 (假如“桌子、椅子和啤酒杯” 是我們日常所知的那些東西的話)，用數偶和三元數組則不會，因此前者只是一種花絮式的比喻，后者卻能用來論述幾何公理的相容性 (確切說是幾何公理相對于算術公理的相對相容性)，從而實質性地凸顯出放棄描述性定義，用公理來界定概念的優越性乃至必要性。

現在讓我們重回話題，探究一下希爾伯特是否留下過類似于瑞德和愛因斯坦所表述的那種闡釋性的文字。當然，說是探究，其實只是一種范圍十分有限的閱讀，因為有關希爾伯特的資料——無論出自他本人還是別人——多為德文，有中、英文譯本 (從而我能閱讀) 的比例甚低 (畢竟，希爾伯特遠沒有愛因斯坦那樣的公眾知名度，吸引翻譯的能力也弱得多)。至于探究的結果，則其實就是一則閱讀札記。

這閱讀札記依據的是德國邏輯學家、數學家兼哲學家弗雷格 (Gottlob Frege) 的《邏輯與數學通信集》 (Philosophical and Mathematical Correspondence)。這本 1980 年出版的通信集所收錄的信件之中，包含了弗雷格與希爾伯特之間的九封信——其中弗雷格致希爾伯特四封，希爾伯特致弗雷格五封，討論的多為數學哲學話題，有幾封更是直接涉及了希爾伯特的《幾何基礎》一書。

弗雷格的《邏輯與數學通信集》 (1980 年)

弗雷格與希爾伯特就數學哲學展開討論并不奇怪，因為在數學哲學的三大經典流派中，這兩人皆為“一派宗主”：前者是邏輯主義 (Logicism) 的重要先驅，后者則如前文所述，是形式主義的領銜人物，身份旗鼓相當?！渡涞裼⑿蹅鳌防锏暮槠吖f起黃藥師時曾言道：“他是‘東邪’，我是‘北丐’。我跟他打過的架難道還少了？”弗雷格與希爾伯特這兩位“一派宗主”間的數學哲學討論庶幾相似。除身份旗鼓相當外，弗雷格與希爾伯特都是德國人，在語言上毫無隔閡，這對于數學哲學討論乃至一切哲學討論都是極為便利的。

希爾伯特的《幾何基礎》問世后，弗雷格很快就讀到了并于 1899 年 12 月 27 日 “出招”：寫了一封致希爾伯特的信。在信里，弗雷格就希爾伯特對概念不加定義——即沒有對“點”、“線”、“之間”等概念的特性進行描述——的做法提出了質疑。弗雷格認為，這種做法似乎是假定了讀者已預先知道那些概念是什么。比這種做法更讓弗雷格困惑的，則是用數偶和三元數組代替點和線，因為——在弗雷格看來——哪怕讀者已預先知道那些概念是什么，那預先的知識也無非就是一些直觀理解，而絕不可能是數偶和三元數組之類。弗雷格最后干脆表示，他不清楚被希爾伯特稱為“點”的到底是什么東西 (“it is ... left unclear what you call a point”)。當然，弗雷格也品味出希爾伯特試圖用公理來界定概念，但他并不認同這種做法，認為這是讓公理來承擔屬于定義的義務 (“the axioms are made to carry a burden that belongs to definitions”)。

希爾伯特的“回招”也很快：兩天后，即 1899 年 12 月 29 日，就寫了一封很長的回信[注11]，對弗雷格的質疑進行了逐點回應。

比如針對弗雷格對描述性定義的“執念”——即主張對概念的特性進行描述，希爾伯特以被其質疑的“之間”這一概念為例，巧妙地將自己用公理來界定概念的做法包裝成了符合弗雷格要求的對概念的特性進行描述的定義，表示自己的做法等價于對“之間”這一概念的特性作出如下描述：“‘之間’是關于直線上的點的一種滿足下列特性的關系……” ("Between" is a relation which holds for the points on a line and which has the following characteristic marks...)，而所謂“下列特性”，則正是希爾伯特用來定義這一概念的那些公理。這并非詭辯，而是巧妙地揭示了不同定義方式之間“條條道路通羅馬”的關系。事實上，如果用函數來類比的話，弗雷格主張的對概念的特性進行描述的定義類似于顯函數，希爾伯特的用公理來界定概念的定義類似于隱函數，希爾伯特的上述回應則相當于將一個隱函數改寫成等價的顯函數，當然不是詭辯——因為隱函數的效力本就絲毫不亞于顯函數，適用面甚至更為寬廣。

比如針對弗雷格所認為的對概念不加定義的做法似乎是假定了讀者已預先知道那些概念是什么，希爾伯特表示那非但不是假定讀者已預先知道，相反，恰恰是“不希望假定任何東西為預先知道” (do not want to assume anything as known in advance)。

比上述回應更進一步，希爾伯特對描述性定義和用公理來界定概念進行了優劣對比。他表示，如果有人試圖用諸如“沒有廣延” (extensionless) 之類對特性的描述來定義“點”，他將明確反對，因為那是根本不存在的東西，只會讓一切變得模糊。不僅如此，希爾伯特還提出了用公理來界定概念的一種很微妙的必要性，那就是：每一條公理對其所包含的概念都是有某種貢獻的 (“every axiom contributes something to the definition”)，比如“點”這一概念在歐幾里得幾何、非歐幾里得幾何、阿基米徳幾何、非阿基米徳幾何里是彼此不同的，這種差異在“沒有廣延”之類的描述性定義里是看不出的，只有將公理本身視為定義才能得到體現。

而對本文來說最重要的是，希爾伯特在這封回信里寫了一句本質上跟“我們必定可以用桌子、椅子和啤酒杯來代替點、線、面”完全一致的話——盡管他用了三樣完全不同的東西。這句話出現在回信的最后部分，那部分是希爾伯特所回應的最后一條反對意見 (“there is only one more objection I must touch on”)，針對的是他用數偶和三元數組代替點和線的做法讓弗雷格感到的困惑，及后者明確表示的不清楚被他稱為“點”的到底是什么東西。

希爾伯特表示，公理體系只是概念和它們之間相互關系的一種架構或概括，“基本元素可以用人們喜歡的任意方式來想象” (basic elements can be thought of in any way one likes)。他并且舉例說，如果將基本元素換成其他東西，比如“愛、法律、煙囪清掃工” (“love, law, chimneys-weep”)，并將公理視為這些東西之間的關系，那么，“我的命題，比如畢達哥拉斯定理，對這些東西也將成立” (my propositions, e.g. Pythagoras' theorem, are also valid for these things)。很明顯，這個例子本質上是跟“我們必定可以用桌子、椅子和啤酒杯來代替點、線、面”完全一致的。更重要的是，這是貨真價實的希爾伯特本人的文字，而非出自——如[注5]所述的——時間錯開三四十年，內容也很可能是間接的他人記敘。

不過，“愛、法律、煙囪清掃工”這個出自希爾伯特本人的例子在流行度上顯然敗給了瑞德引述的“桌子、椅子和啤酒杯”，這一方面固然是科普的傳播力遠非學術通信可比，另一方面，可能也是因為所有人都能看出“桌子、椅子和啤酒杯”彼此相關，“愛、法律、煙囪清掃工”在多數人眼里卻有些風馬牛不相及?？紤]到幾何公理體系的基本元素并非彼此無關，用來舉例的東西——哪怕只作為花絮式的比喻——也理當彼此相關。但是，“愛、法律、煙囪清掃工”之間究竟有何關系？這問題我沒找到現成答案。不過在歐洲文化里，煙囪清掃工頗帶吉祥色彩，在婚禮上的出現尤其被視為美好祝福，至于愛和法律，它們的“結合”可導致婚禮，這種近于附會的關系是否就是例子背后的“邏輯”？我不知道，姑作為“腦洞”陳列于此吧?！白雷?、椅子和啤酒杯”也好，“愛、法律、煙囪清掃工”也罷，體現的無非都是“基本元素可以用人們喜歡的任意方式來想象”，真正的重點在于基本元素之間的關系——即它們必須滿足所有公理。

最后有必要指出的是，就像瑞德和愛因斯坦的那兩組文字各有淵源一樣，希爾伯特的“基本元素可以用人們喜歡的任意方式來想象”也并非無源之水。比如希爾伯特非常熟悉——且很可能對他幾何基礎思想的形成產生過影響——的射影幾何里有一個對偶原理 (principle of duality)，允許對“點”和“線”或“點”和“面”進行彼此替換 (前者針對平面射影幾何，后者針對立體射影幾何)。與之相比，“基本元素可以用人們喜歡的任意方式來想象”可視為一種推廣——即將“彼此替換”納入更一般的范疇。這是形式主義的重要特點——雖然后者的完整框架彼時尚處于構建初期。在數學哲學的三大經典流派里，形式主義的這一特點可說是最具現代意識，也最被現代數學公理體系所接納的，雖然希爾伯特試圖通過形式主義來實現的很多目標，比如論證公理體系的自洽性、完備性，及數學命題的可判定性等，后來被包括哥德爾不完全性定理 (G?del's incompleteness theorems) 在內的一系列震撼性結果證明為是很大程度上辦不到的。

希爾伯特這封很長的回信是我所讀到的他本人對《幾何基礎》的最淺顯、最清晰的闡釋，但弗雷格顯然未被說服——就像“東邪”和“北丐”誰也不曾服誰。一周后的 1900 年 1 月 6 日，弗雷格回了一封更長的信，再次“出招”。不過希爾伯特的興趣似乎已被自己的先前回信所終結，只于 1900 年 1 月 15 日回了一封寥寥數行的短信，表示正忙于其他事務，無法再作詳盡回復。“你的討論對我來說很有興趣且有很大價值，它將起碼敦促我更嚴密地思考及更仔細地表述我的觀點”——希爾伯特用這樣一句客客氣氣的話為兩人的這一輪討論畫下了句號[注12]。

這也窮盡了我所找到的有關希爾伯特談《幾何基礎》的資料，從而也作為本文的句號吧。

注釋

1. 說到版本，我那冊《幾何基礎》是科學出版社 1987 年版，且只是上冊。該版的上下冊出齊據我所知是 1995 年，彼時我已出國，不曾購得。2009 年，此書又出了個上下冊合一的修訂版。除中文版外，出國后此書的英文版 Foundations of Geometry 也進入了我的視野。以內容而論，1987 年那冊中文版是轉譯自俄文，顯然既不如英文版，也比不上 2009 年修訂版——后者參閱過德文版，但就封面而言，那冊中文版卻勝過了后兩者——尤其是遠勝于 2009 年修訂版那個堪稱難看的猩紅色封面。因此在所有版本中，其余我都只收藏了電子版，作為實體書立在我書架上的唯有那冊 1987 年的中文版。

2. 這里引述的是我最初讀到這段話時的版本，出自上海科學技術出版社 1982 年版的《希爾伯特》。

3. 瑞德的專業乃是英文。不過，瑞德本人的數學基礎雖堪稱薄弱，其數學科普的背后卻有兩位專業數學家在 “把關” ——因為她妹妹是在希爾伯特第十問題上作出過貢獻的羅賓遜夫人 (Julia Robinson)，妹夫拉斐爾·羅賓遜 (Raphael Robinson) 亦是數學家。瑞德最早發表數學科普是在《科學美國人》 (Scientific American) 雜志上，當時正值她第一個小孩出生。瑞德后來在一次接受訪談時提到，那篇科普發表后有讀者對《科學美國人》讓一位家庭主婦撰寫數學科普表示不滿，但不滿的只是作者身份，對文章里的數學則挑不出毛病，“畢竟，羅賓遜們曾讀過它” (“After all, the Robinsons had read it.”)。

4. 類似于對瑞德文字的引述，這里引述的愛因斯坦文字也特意選了我最初讀到這段話時的版本，出自商務印書館 1976 年版的《愛因斯坦文集》 (第一卷)。

5. 這猜測的另一個理由是：瑞德的《希爾伯特》與布魯門塔爾的希爾伯特生平存在文字上的相似。比如布魯門塔爾提到希爾伯特將在 1898-1899 學年冬季學期講述基礎幾何的消息讓那些知道他只談數域的學生大感意外，瑞德的書里有十分相似的文字，參閱痕跡頗為明顯。另外值得補充的是，希爾伯特那句言論是出自他聆聽德國數學家赫爾曼·維納 (Hermann Wiener) 有關幾何基礎的一次演講之當晚，年份為 1891 年，布魯門塔爾那時才 15 歲，在法蘭克福念中學，尚未成為希爾伯特的學生 (彼時的希爾伯特在柯尼斯堡大學任教)，極不可能是當時的在場者，從而其記敘不僅時間上錯開了三四十年，內容也很可能是間接的。最后，細心的讀者也許還會提出一個問題，即瑞德撰寫《希爾伯特》期間是否采訪過布魯門塔爾 (如果是，則瑞德文字的出處有可能是采訪而非后者所撰的那兩篇希爾伯特生平)？ 答案是否定的，因為布魯門塔爾去世于 1944 年，只比希爾伯特晚一年，彼時的瑞德尚未涉足數學科普。

6. 這里順便說一下，“形式主義” 一詞在數學以外的很多語境下是頗帶負面色彩的——在中文里尤其如此 (或許是因為列寧曾猛烈批判過形式主義)。我念小學那會兒，若有人被老師說成是搞 “形式主義”，那絕對是批評。不過在數學哲學中，形式主義只是一個流派名稱，是完全中性的。

7. 關于這一點的一個例子是：愛因斯坦在寫下前述文字時，提到了德國哲學家石里克 (Moritz Schlick) “非常恰當地” (very aptly) 將公理稱之為 “隱定義” (implicit definitions)，顯示他讀過后者的著作。但從他所用的點評式的口吻看，這種提及只傳達了一種 “英雄所見略同” 的意味，是將石里克的 “隱定義” 視為一種殊途同歸的表述。

8. 我們可以用一個例子來理解這一視角：比如若將幾何中的直線定義為光的路徑，則幾何定理就會變成光學描述，從而 “涉及實在”，但那樣的描述顯然有可能被觀測推翻，從而 “不是可靠的”。反之，若像希爾伯特的《幾何基礎》那樣用公理來界定概念，則只要公理自洽，一切就是可靠的，但由于公理是 “純粹形式意義上” 的，那樣的數學顯然 “不涉及實在”。這是對數學和物理極精辟的區分。

9. 這里引述的希爾伯特文字在《幾何基礎》的各個版本里都有，文字也基本相同。

10. 這里的 x, y, u, v, w 是隸屬于代數數域的一類特殊代數數，其中 (u, v, w) 在《幾何基礎》中被記為 (u:v:w)，并被稱為 u, v, w 這三個數的 “比” (ratios)，但那實際上只是三元數組，跟 “比” 并無關系，故本文效仿《幾何基礎》俄譯本注釋里的做法，將之改為了表示數組的更常用記法 (u, v, w)。另外值得指出的是，希爾伯特對幾何公理的相容性等的論述，是元數學 (metamathematics) 這一研究領域里很重要的早期成果之一，也是《幾何基礎》對數學基礎研究的重大貢獻。

11. 在《邏輯與數學通信集》里，希爾伯特這封回信有兩個版本，都是節選本，一個標注為 “弗雷格節選” (Excerpt by Frege)，另一個則是 “希爾伯特草稿或節選” (Draft or Excerpt by Hilbert)，內容彼此相近?？紤]到 “弗雷格節選” 應該是出自真正寄給弗雷格——從而后者有機會 “節選” ——的版本，當比 “希爾伯特草稿或節選” 更接近 “定稿”，故本文的援引皆選自該版本。

12. 這輪討論的最后余音是：弗雷格提議發表兩人的通信，但希爾伯特拒絕了，弗雷格于是只將自己的觀點寫成了幾篇論文，于 1903 年發表。不過，在弗雷格和希爾伯特都去世數十年之后，兩人彼時尚存的通信最終還是得到了起碼是節選意義上的發表——也就是我們如今看到及本文所參照的。

2026 年 5 月 10 日

欲讀作者更多文章，可訪問作者個人主頁www.changhai.org，或點擊頁面左下角“閱讀原文”直達該網站。

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閱不同主題系列科普文章。

2.『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回復四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。

版權說明：歡迎個人轉發，任何形式的媒體或機構未經授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內聯系后臺。