貸款回收率建模：那個讓統(tǒng)計學(xué)家頭疼的"1"怎么破

銀行風(fēng)控部門拿到一份貸款數(shù)據(jù)：2000筆借款，回收率分布圖在1.0的位置突然冒出一根尖刺——全是全額還款的客戶。標準貝塔回歸（Beta Regression）在這里直接失效，因為它假設(shè)數(shù)據(jù)嚴格落在0到1之間，不包括端點。這篇文章用PyMC手搓一個"一膨脹貝塔"模型，把離散的全額還款和連續(xù)的部分還款塞進同一個似然函數(shù)里。

為什么標準工具會在這里翻車

先看清數(shù)據(jù)長什么樣。2000筆合成貸款中，約30%全額還款（repayment=1.0），剩下70%分散在0到1之間。畫成密度圖：主體是一條平滑的貝塔曲線，右側(cè)邊緣卻粘著一坨點質(zhì)量。

傳統(tǒng)方案兩頭不討好。邏輯回歸只認二元標簽——還了還是沒還，把"還了六成"和"還了九成"當成一回事。標準貝塔回歸更尷尬，它的支撐集是開區(qū)間(0,1)，碰到確切的1.0直接報錯或數(shù)值爆炸。

金融風(fēng)控的真實需求是同時回答兩個問題：這人全額還款的概率有多大？如果沒全額還，預(yù)期能收回多少比例？兩個答案都得從同一批數(shù)據(jù)里摳出來。

一膨脹貝塔：把兩個分布縫在一起

模型的核心想法不復(fù)雜。每一筆貸款的回收率Y服從混合分布：以概率π取確定值1，以概率(1-π)從貝塔分布中抽樣。π本身又是借款人特征的函數(shù)——信用分越高、貸款價值比越低，全額還款概率越大。

用代碼語言說，似然函數(shù)是分段定義的：

當y=1時：log p(y) = log(π)

當0

貝塔分布的參數(shù)α、β也不是固定的，由均值θ和精度φ推導(dǎo)：α=θφ，β=(1-θ)φ。θ同樣回歸于借款人特征，φ作為全局精度參數(shù)。

最終模型要估計三套東西：π的回歸系數(shù)（5個，含截距）、θ的回歸系數(shù)（5個，含截距）、精度φ（1個）。11個參數(shù)從2000個觀測值里同時反推，靠的就是PyMC的自動微分變分推斷（ADVI）或NUTS采樣器。

手搓似然：從pm.Potential到逐行實現(xiàn)

PyMC沒有內(nèi)置"一膨脹貝塔"，但給了pm.Potential這個后門——直接把對數(shù)似然塞進圖模型。作者選擇更硬核的路線：用pytensor.tensor手寫了貝塔對數(shù)密度，再拼成完整似然。

關(guān)鍵代碼塊拆解如下。首先處理全額還款的示蹤變量：

obs_full = pt.eq(repayment_data, 1.0) # 布爾張量，標記哪些觀測是1.0

然后計算兩個分支的對數(shù)概率。全額還款分支簡單：就是logit_pi經(jīng)過logistic變換后的對數(shù)。部分還款分支需要完整的貝塔對數(shù)密度，包括伽馬函數(shù)和邊界處理。

最后把兩段縫起來：pt.switch(obs_full, log_prob_full, log_prob_partial)。這個switch操作在計算圖層面完成，保證梯度能正常回傳。

模型跑下來，2000個觀測、11個參數(shù)，NUTS采樣2000次 tune=1000，在普通筆記本上幾分鐘收玫。arviz的診斷圖顯示R-hat全部接近1，沒有明顯的路徑依賴問題。

參數(shù)恢復(fù)：合成數(shù)據(jù)的誠實測試

用合成數(shù)據(jù)的好處是知道"正確答案"。作者設(shè)定的真實參數(shù)：π的截距0.5、信用分系數(shù)0.8、貸款價值比系數(shù)-0.6；θ的截距0.3、信用分系數(shù)0.5、貸款價值比系數(shù)-0.3；精度φ=5.0。

后驗均值與真實值的偏差控制在0.1個標準差以內(nèi)。信用分對全額還款概率的拉動效應(yīng)（0.8）被準確捕捉，貸款價值比的負面沖擊（-0.6）也沒有被稀釋。部分還款分支的參數(shù)同樣穩(wěn)健恢復(fù)。

這個誠實測試驗證了兩件事：模型設(shè)定沒有識別問題，PyMC的采樣器對這種分段似然處理得當。對于真實銀行數(shù)據(jù)，只要把合成數(shù)據(jù)換成實際特征，同一套代碼直接可用。

從貸款回收推廣到更廣泛的"零一膨脹"問題

一膨脹貝塔的鏡像版本是零膨脹——比如醫(yī)療支出數(shù)據(jù)里大量零消費混雜著正數(shù)支出。同樣的分段似然技巧，把π換成零點的概率質(zhì)量即可。

更一般的框架是Tweedie分布或復(fù)合泊松-伽馬模型，但那些假設(shè)特定的指數(shù)族形式。一膨脹貝塔的優(yōu)勢在于靈活：π和θ可以各自綁定不同的特征集，甚至可以引入層次結(jié)構(gòu)處理多產(chǎn)品、多地域的貸款組合。

PyMC的自定義似然能力在這里是決定性因素。相比Stan需要手寫C++，或JAGS受限于內(nèi)置分布，PyMC的pytensor后端允許純Python級別的計算圖操作，同時保持自動微分和GPU加速的潛力。

這篇文章的完整代碼已打包成可交互Notebook，點擊原文徽章可直接在瀏覽器里跑。對于正在處理邊界點質(zhì)量問題的量化風(fēng)控團隊，這是一份可以直接落地的技術(shù)參考。

2000筆貸款、11個參數(shù)、兩段式似然——這個數(shù)字組合或許會成為你下一個風(fēng)控模型的起點。