科學通報 | 非德拜聲子反常的理論描述

1900年4月27日, 開爾文勛爵(William Thomson, 1824~1907年)在英國皇家學會演講中指出經典物理學的天空中飄著“兩朵烏云”: 第一朵為邁克爾遜-莫雷實驗結果與以太漂移說的矛盾, 第二朵為能量均分定理在解釋黑體輻射能譜時引起的紫外災難. 這兩大難題最終推動了相對論和量子力學的誕生, 成為20世紀物理學革命的起點. 在經典統計力學中, 能量均分是指熱平衡時能量被等量分配到各種形式的運動中, 一個重要應用是預測固體的比熱容為3 R ( R 是氣體常數), 即杜隆-珀蒂定律. 但該定律與固體比熱容的低溫行為嚴重不符. 實現發現, 當溫度趨于 0?K 時, 固體比熱容不再保持為常數, 而以溫度的三次方形式趨于零. 為了解決這一矛盾, 愛因斯坦(Albert Einstein, 1879~1955年)在1907年發展普朗克(Max Planck, 1858~1947年)的量子假說, 首次提出晶格低頻振動的能量不再均分, 而是離散量子化的, 建立了量子的比熱容理論 [1] . 由于未考慮晶格振動之間的互相作用, 愛因斯坦理論預測固體低溫比熱以溫度的指數形式趨于零, 與實驗不符. 1912年, 德拜(Peter J. W. Debye, 1884~1966年)改進愛因斯坦理論, 假設晶格低頻振動為連續介質彈性波, 推導出振動態密度正比于振動頻率的平方, 從而實現了固體低溫比熱容的定量預測 [2] . 在同一時期, 波恩(Max Born, 1882~1970年)和馮·卡門(Theodore von Kármán, 1881~1963年)從離散晶格角度開展雙原子鏈振動和復雜晶體比熱容研究, 形成了玻恩-馮·卡門邊界條件、晶格振動簡正模、色散關系、低頻聲學支和高頻光學支等系列成果, 最后集大成為1954年出版的 Dynamic Theory of Crystal Lattices (波恩和黃昆合著).

在解決固體低溫比熱容難題過程中, 晶格振動的描述經歷了從經典到量子化的蛻變, 也孕育了凝聚態物理領域一個重要概念, 即“聲子(phonon)”的誕生. “聲子”這一術語由弗侖克爾(Yakov Frenkel, 1894~1952年)在1932年正式命名, 并明確其物理含義為: “描述固體熱運動的彈性(或超聲)波相關的聲量子或熱量子”, 標志著晶格振動的量子化從波動到“粒子”的變革. 到20世紀50年代, 布羅克豪斯(Bertram N. Brockhouse, 1918~2003年)和舒爾(Clifford G. Shull, 1915~2001年)通過發展中子衍射技術實現了對聲子譜的測量. 聲子作為晶格振動能量量子化的準粒子, 是連接宏微觀世界的關鍵橋梁. 它可以聯系微觀實體量子, 與電子、光子等產生相互作用, 同時與熱、電、磁、力等宏觀固體性質又息息相關.

德拜理論作為低頻聲子在連續介質極限條件下的嚴格描述, 因形式簡潔、物理清晰, 在凝聚態物理領域具有舉足輕重的支柱地位. 盡管如此, 德拜的優雅理論也面臨兩大危機. 第一個危機是當振動波長趨于晶格常數時, 由于晶格的長程周期性以及簡諧相互作用, 聲子態密度會出現一些數學上不可導奇點, 即范霍夫奇異(Van Hove singularity, VHS) [3] . 這好比對于隊列訓練的士兵方陣, 如果接收到的口令頻率太快, 即使方陣本身具有周期性, 士兵們也會互相干擾, 在某個特定頻率時出現“卡頓”或“共振”. 第二個危機來自晶格失去長程周期性而變得無序, 此時THz頻段的低頻聲子會偏離德拜理論預測, 導致態密度過剩而形成所謂的玻色峰(boson peak, BP) [4] . 這種反常行為類似于混亂無序人群在受到外部擾動時, 會自發地出現一些“幽靈般”局部集體晃動而阻塞. 這些非德拜聲子反常對固體的低溫比熱、熱傳導、超導甚至力學等特性具有顯著影響, 從而引起固體物理、力學和材料等領域的廣泛關注.

過去幾十年, 關于玻色峰的物理起源及其與范霍夫奇異是否等效存在長期的尖銳爭議, 形成了兩種截然不同的學術觀點. 第一種觀點是從“晶體”視角, 認為玻色峰是晶體中范霍夫奇異在玻璃等無序體系中的變體. 由于晶格無序或彈性的漲落, 原先尖銳的范霍夫奇異變得更加光滑并向更低頻移動 [5] . 這種觀點的直接證據是通過調控體系的無序度或密度, 玻色峰和范霍夫奇異之間可相互轉變 [ 6 , 7 ] . 第二種觀點則從“玻璃”視角主張玻色峰完全不同于范霍夫奇異, 而源于超越晶格尺度的某種局域結構, 比如軟點 [8] 、方向序 [9] 等. 這些無序結構與彈性聲子雜化, 形成準局域模態從而引起玻色峰. 支撐該觀點的證據是, 玻色峰和范霍夫奇異可同時存在于應變玻璃和一些特殊設計的模擬體系中 [ 10 , 11 ] .

這兩種截然不同的觀點導致對無序固體聲子的理論描述形成了兩條不同的途徑. 第一條以漲落彈性模型 [5] 為代表, 無序固體被看作具有力常數或模量漲落的彈性連續介質, 其振動態密度通過求解漲落修正的格林函數獲得. 另一條途徑則通過在聲子格林函數中引入局域模態求解態密度 [12] . 盡管處理方式不同, 這些模型均可通過數值求解, 預測低波數或低頻聲子阻尼系數的瑞利散射行為. 但研究發現 [13] , 玻色峰往往出現在高波數或高頻區域, 此時聲子阻尼與波數呈二次函數的米氏散射. 最近的理論工作 [14] 試圖從聲子傳播-阻尼的競爭框架去融合上述兩條途徑, 實現了對玻色峰和范霍夫奇異的重現, 但仍未從本質上打通聲子軟化與阻尼的理論關系. 因此, 亟需一個真正物理意義上的解析理論, 將線性聲子的德拜理論拓展到非線性區域, 解除德拜理論面臨的“玻色峰”和“范霍夫奇異”兩大危機.

針對此理論挑戰, 我們開展了深入分析和研究 [15] . 首先需要觀念上的突破, 我們認為對于一個真實的固體, 無論是有序還是無序, 其聲子行為表現為玻色峰或者范霍夫奇異, 主要取決于聲子在固體中如何散射進而影響聲子的阻尼和傳播. 為此, 我們的模型將真實固體抽象為各向同性的均勻連續介質, 其中嵌有一些隱藏的散射體. 體系的振動看作彈性聲子與局域模態的共振, 但共振的強弱程度取決于兩個重要參數: 散射體的特征尺寸和散射聲子的平均自由程. 接下來, 我們通過求解彈性聲子的散射強度, 理論推導了多自由度振動系統的聲子阻尼系數. 該阻尼系數在長波極限時, 可退化為瑞利散射定律; 當波長接近散射體尺寸時, 可描述米氏散射行為. 我們首次在理論上實現了聲子阻尼隨頻率或波數增加, 從瑞利散射到米氏散射轉變的光滑描述( 圖1(a) ). 進一步, 我們考慮阻尼以指數函數耦合到晶體正弦形式聲子散射關系中, 將德拜線性色散拓展至非線性區域. 該非線性色散可同時描述晶格引起的固有聲子軟化, 以及散射或阻尼導致的額外軟化. 最后, 通過格林函數, 我們得到了可統一描述有序晶體和無序固體(玻璃等)的聲子態密度解析表達. 值得注意的是, 我們建立的聲子統一理論僅包含以下3個控制方程:

圖 1 固體聲子統一理論. (a) 聲子阻尼系數與波數關系; (b) 非德拜聲子反常相圖 [15] ; (c) 德拜約化的振動態密度與頻率關系; (d) 143個真實固體的低溫比熱數據驗證 [15]

其中, q " role="presentation"Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;" mpa-font-style="mojsh3jd20tu">q 、 q D " role="presentation"Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;" mpa-font-style="mojsh3jd1tlv">qD 、 ω " role="presentation"Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;" mpa-font-style="mojsh3jd16md">ω 、 c " role="presentation"Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;" mpa-font-style="mojsh3jdgqj">c 分別是聲子的波數、德拜波數、頻率和波速, 以及3個擬合參數, 即散射體特征尺寸 q 0 " role="presentation"Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;" mpa-font-style="mojsh3jdp30">q0 、散射聲子平均自由程 θ " role="presentation"Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;" mpa-font-style="mojsh3jdm0a">θ 和可由這兩個參數( q 0 " role="presentation"Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;" mpa-font-style="mojsh3jd1sth">q0 和 θ " role="presentation"Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;" mpa-font-style="mojsh3jd9u">θ )表達的聲子有效散射截面積 Γ 0 " role="presentation"Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;" mpa-font-style="mojsh3jd5t">Γ0 .

基于該理論, 我們在參數空間系統分析了聲子的散射/阻尼特性、色散關系、傳播規律以及態密度對德拜理論的偏離行為. 在此基礎上, 我們以散射體特征尺寸和散射聲子平均自由程為參數空間, 構建了非德拜聲子反常的全景相圖( 圖1(b) ). 分析發現, 如果聲子色散呈現非線性連續軟化, 則玻色峰和范霍夫奇異總是單獨出現( 圖1(c) ), 兩者可由同一實體演變為高度耦合且可相互轉換的兩個變體: 其中, 范霍夫奇異源于接近布里淵邊界時的聲子固有軟化, 玻色峰則受到聲子固有軟化和散射額外軟化的聯合貢獻; 如果聲子強烈散射導致色散出現額外的局域共振軟化, 則玻色峰和范霍夫奇異可作為完全不同的現象而獨立地同時涌現( 圖1(c) ), 且兩者共存的相邊界可由我們的聲子阻尼模型( 方程(1) )精確確定. 最后, 基于態密度表達( 方程(3) ), 我們還計算了非德拜聲子引起的低溫比熱反常行為, 并得到涵蓋有序晶體到無序玻璃的143個真實固體的實驗數據證實( 圖1(d) ), 這表明建立的聲子統一理論具有廣泛的普適性和有效性.

綜上所述, 我們從聲子散射物理規律入手, 建立了一個適用于晶體和非晶體的振動態密度統一理論, 解決了德拜理論面臨的聲子反常難題, 澄清了玻色峰和范霍夫奇異物理關系的長期學術爭議. 該理論發現不僅解決了一個百年難題, 也重塑了我們對物質本身性質的看法. 長期以來, 人們總是從有序或無序去描述物質, 但實際上均可看作聲子連續譜上的點. 聲子作為我們普通人聽不到的聲音, 其傳播、散射、阻尼、共振等行為控制著物質的諸多物理性質, 比如熱輸運、超導性、超聲振動甚至弛豫重排等. 我們建立的聲子統一理論將無序與有序、波動與粒子、可見與不可見、線性與非線性聯系起來, 為從聲子基本層面去設計先進材料開辟了新途徑.

參考文獻

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