數(shù)學(xué)難題進(jìn)展速遞：解讀《量子雜志》報(bào)道傅里葉分析領(lǐng)域余弦和最小值的更精細(xì)上界

★置頂zzllrr小樂(lè)公眾號(hào)（主頁(yè)右上角）數(shù)學(xué)科普不迷路！

本文圍繞Sarvadaman Chowla（薩瓦達(dá)馬南·喬拉）在1965年提出的余弦和最小值問(wèn)題展開。該問(wèn)題屬于傅里葉分析領(lǐng)域，核心是探究由N個(gè)整數(shù)構(gòu)成的集合所對(duì)應(yīng)的余弦波之和能達(dá)到的最小值的更精細(xì)的上界。

數(shù)十年來(lái)，數(shù)學(xué)家們用傳統(tǒng)傅里葉分析方法研究該問(wèn)題，進(jìn)展十分緩慢。2004 年伊姆雷·魯扎（Imre Ruzsa）給出的邊界結(jié)果與 Chowla 的猜想存在巨大差距。

2025年夏，金之涵（Zhihan Jin，ETH蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院）、阿萊克薩·米洛耶維奇（Aleksa Milojevi?）、伊斯特萬(wàn)·托蒙（István Tomon）和張盛桐（Shengtong Zhang，斯坦福大學(xué)博士生攻讀）四位學(xué)者在研究圖論中的最大切割（MaxCut）問(wèn)題（其通用方法屬于NP難問(wèn)題）時(shí)，意外發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題與Chowla余弦問(wèn)題的關(guān)聯(lián)。

在Ilya Shkredov的提示下，四人借助Cayley圖（凱萊圖）的特性，將余弦和最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖的特征值分析問(wèn)題，最終得出新的上界結(jié)果。

此后，Benjamin Bedert用傳統(tǒng)傅里葉分析方法進(jìn)一步優(yōu)化了該上界（更接近于Chowla的猜想）。

圖源：Samuel Velasco / Michael Kanyongolo / Quanta Magazine

1. 原文大意

1950 年代初，喬拉（Sarvadaman Chowla，1907—1995）和他的數(shù)論同事內(nèi)史密斯·安克尼（Nesmith Ankeny）希望利用傅里葉變換更好地理解數(shù)字集合中的模式。

考慮由數(shù)字 2、3 和 8 組成的集合。首先，用集合中的每個(gè)數(shù)字定義一個(gè)余弦波——例如，2 對(duì)應(yīng) cos(2x)。然后，將所有余弦波相加，得到 cos(2x) + cos(3x) + cos(8x)。

上圖各種余弦波花在一張圖中，最底下的波為三種余弦波疊加。

為便于區(qū)分開，對(duì)函數(shù)值（表達(dá)式見圖左側(cè)）做了適當(dāng)上下偏移

圖釋：譯者

這其實(shí)就是將原始集合寫成傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方式。這個(gè)級(jí)數(shù)結(jié)構(gòu)非常清晰：所有波都是余弦波，并且由于所有余弦波前面都沒有數(shù)字，所以它們的波長(zhǎng)相同。“這是你能得到的最簡(jiǎn)單的傅里葉級(jí)數(shù)，”劍橋大學(xué)的本杰明·貝德特說(shuō)，“而且總的來(lái)說(shuō)，我們對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)已經(jīng)相當(dāng)了解了。”

由 cos(2x) + cos(3x) + cos(8x) 定義的新波峰和波谷揭示了原始數(shù)集的一些有趣性質(zhì)。因此，安克尼和喬拉試圖檢驗(yàn)他們對(duì)這類數(shù)列的理解程度。他們想知道：對(duì)于任意 N 個(gè)整數(shù)，該數(shù)列的和的最小值是多少？

很容易計(jì)算出和的最大值。當(dāng) x 為零時(shí)，任何余弦波的最大值都是 1。因此，三個(gè)余弦波的和為 1 + 1 + 1，即 3。類似地，1000 萬(wàn)個(gè)余弦波的和的最大值也是 1000 萬(wàn)。對(duì)于任意 N 個(gè)整數(shù)的集合，最大值就是 N。

然而，理解余弦和的最小值卻出乎意料地困難。雖然不同的波至少會(huì)同時(shí)達(dá)到最大值一次（當(dāng) x 為零時(shí)），但最小值并非如此。或許不同波的最低點(diǎn)仍然會(huì)足夠接近，從而產(chǎn)生一個(gè)非常小的和。又或許這些波會(huì)相互干擾，使得和不可能變得太小。

1952 年，安克尼和喬拉猜想，隨著原集合中整數(shù)個(gè)數(shù)的增加，最大值會(huì)越來(lái)越大，而最小值則會(huì)越來(lái)越小。幾年后，這一猜想得到了證明——這促使喬拉在 1965 年進(jìn)一步探究這個(gè)問(wèn)題。他想知道隨著 N 的增長(zhǎng)，最小值究竟下降得有多快。

他知道一些 N 個(gè)整數(shù)的集合，它們的余弦和的最小值在 ?√N(yùn) 附近。他能想到的所有其他集合的最小值都更低，這使他猜想，對(duì)于任何 N 個(gè)正整數(shù)的集合，相應(yīng)的余弦和的最小值必定小于?√N(yùn) 。

在接下來(lái)的幾十年里，一些數(shù)學(xué)家致力于解決這個(gè)問(wèn)題。但到了 21 世紀(jì)初，他們所能證明的結(jié)果與喬拉的預(yù)測(cè)之間仍然存在巨大差距。根據(jù)匈牙利阿爾弗雷德·雷尼數(shù)學(xué)研究所的伊姆雷·魯扎（Imre Ruzsa）在 2004 年證明的最新界限，102? （也就是 1 后面跟著 20 個(gè)零，大約相當(dāng)于一立方英寸空氣中的分子數(shù)）個(gè)余弦之和——其最小值必須小于大約-7。相比之下，喬拉預(yù)測(cè)的最小值必須小于-101?。

然而，在過(guò)去的 20 年里，Ruzsa 的研究成果代表了 Chowla 余弦問(wèn)題研究的最高成就。

然后，一項(xiàng)完全無(wú)關(guān)的研究項(xiàng)目最終突破了這一障礙。

金之涵（左）、阿萊克薩·米洛耶維奇（右上）和伊斯特萬(wàn)·托蒙（右下）

圖源：Zhihan Jin; Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach; Livia Tomon-Horvath

2025年夏，金之涵（Zhihan Jin，ETH蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院）、阿萊克薩·米洛耶維奇（Aleksa Milojevi?）、伊斯特萬(wàn)·托蒙（István Tomon）和張盛桐（Shengtong Zhang，斯坦福大學(xué)博士生攻讀）四位學(xué)者在研究圖論中的MaxCut（最大切割）問(wèn)題（其通用方法屬于NP難問(wèn)題）時(shí)，意外發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題與Chowla余弦問(wèn)題的關(guān)聯(lián)。

圖源：Mark Belan / Samuel Velasco / Quanta Magazine

在Ilya Shkredov的提示下，四人借助Cayley圖（凱萊圖）的特性，將余弦和最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖的特征值分析問(wèn)題，最終得出新的邊界結(jié)果。

凱萊圖（Cayley圖），是由節(jié)點(diǎn)和邊組成的網(wǎng)絡(luò)，可用于提供關(guān)于數(shù)集的重要信息。例如，假設(shè)你想研究集合{2,3,8}，下圖給出3個(gè)步驟，得到一個(gè)凱萊圖。

圖的特征值（eigenvalue）提供了有關(guān)圖結(jié)構(gòu)的信息。例如，最大特征值表示圖中的邊數(shù)；第二大特征值衡量圖的連通性。金之涵、Milojevi?、Tomon 和張盛桐重點(diǎn)研究了負(fù)特征值，并在此基礎(chǔ)上開展了一項(xiàng)近期研究，該研究將負(fù)特征值與圖的最大割聯(lián)系起來(lái)。他們對(duì)這些特征值的分析最終使他們能夠證明其新發(fā)現(xiàn)。

https://arxiv.org/abs/2509.03490

張盛桐在著名的“最大切割”問(wèn)題上取得了重大進(jìn)展，這是一個(gè)關(guān)于圖的基本問(wèn)題，有很多實(shí)際應(yīng)用。

圖源：Wanqi Zhu

此后，Benjamin Bedert用傳統(tǒng)傅里葉分析方法進(jìn)一步優(yōu)化了該邊界。

https://arxiv.org/abs/2509.05260

Benjamin Bedert

圖源：Romana Meereis

2. 核心數(shù)學(xué)思想

2.1 傅里葉級(jí)數(shù)與余弦和：

任意N個(gè)整數(shù)的集合可對(duì)應(yīng)一個(gè)余弦波之和，該和的最大值為N（令x=0，各余弦函數(shù)值都為1，此時(shí)余弦和為N），最小值的上界是Chowla問(wèn)題的核心。Chowla猜想最小值上界為-√N(yùn)。

2.2 圖論與Cayley圖的橋梁作用：

Cayley圖可由整數(shù)集合構(gòu)造，圖中節(jié)點(diǎn)差值屬于原集合時(shí)，節(jié)點(diǎn)相連。Cayley圖的最小特征值與余弦和的最小值一一對(duì)應(yīng)。

2.3 MaxCut問(wèn)題與特征值分析：

研究無(wú)團(tuán)圖的MaxCut問(wèn)題時(shí)，團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)圖的最小特征值與團(tuán)結(jié)構(gòu)相關(guān)。若圖無(wú)小特征值，則必然存在大團(tuán)，利用這一矛盾可推導(dǎo)Cayley圖的最小特征值必須很小。

團(tuán)（clique）——彼此相連的節(jié)點(diǎn)簇

一組相互連接的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)團(tuán)。圖中有一個(gè)五節(jié)點(diǎn)團(tuán)，以紅色突出顯示。

2.4 反證法的應(yīng)用：

假設(shè)Cayley圖無(wú)小特征值，則會(huì)推導(dǎo)出圖中存在大量團(tuán)，這與Cayley圖的邊數(shù)限制矛盾，從而證明最小特征值足夠小，對(duì)應(yīng)余弦和的最小值更小的上界。

3. 主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)

3.1 跨領(lǐng)域的問(wèn)題轉(zhuǎn)化：

打破傅里葉分析與圖論的壁壘，將數(shù)十年未解的傅里葉問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖的特征值和團(tuán)結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題，為同類問(wèn)題提供了新的解決思路。

動(dòng)畫：Samuel Velasco / Michael Kanyongolo / Quanta Magazine

3.2 全新的技術(shù)路徑：

摒棄傳統(tǒng)傅里葉分析方法，借助Cayley圖的經(jīng)典關(guān)聯(lián)和MaxCut問(wèn)題的研究成果，用組合數(shù)學(xué)和圖論工具攻克數(shù)論難題。

3.3 具有冪次形式的邊界結(jié)果：

團(tuán)隊(duì)首次證明余弦和最小值上界為-N^{1/10}，Benjamin Bedert進(jìn)一步優(yōu)化為-N^{1/7}。這兩個(gè)結(jié)果均為N的冪次形式，與Chowla猜想的形式（-√N(yùn)=-N^{1/2}）形式一致，而此前Ruzsa的結(jié)果不具備該形式。

4. 待解決問(wèn)題和未來(lái)科研攻關(guān)方向

a) 待解決問(wèn)題

a.1 逼近Chowla的原始猜想：

當(dāng)前最好的邊界結(jié)果是-N^{1/7}，與Chowla猜想的-√N(yùn)仍有較大差距，需要進(jìn)一步縮小這一鴻溝。

a.2 統(tǒng)一兩種方法的優(yōu)勢(shì)：

圖論方法和傳統(tǒng)傅里葉分析方法均取得突破，尚未找到將兩種方法結(jié)合以獲得更強(qiáng)結(jié)果的路徑。

a.3 Cayley圖性質(zhì)的深度挖掘：

目前僅利用了Cayley圖的部分特征，對(duì)于Cayley圖的團(tuán)結(jié)構(gòu)、特征值分布與整數(shù)集合性質(zhì)的深層關(guān)聯(lián)，仍需更系統(tǒng)的研究。

b) 未來(lái)科研攻關(guān)方向

b.1 拓展圖論與傅里葉分析的關(guān)聯(lián)：

探索MaxCut問(wèn)題、Cayley圖與其他傅里葉分析問(wèn)題的普適性聯(lián)系，建立更通用的跨領(lǐng)域研究框架。

b.2 優(yōu)化特征值分析技術(shù)：

針對(duì)無(wú)團(tuán)圖的特征值上下界，開發(fā)更精細(xì)的分析工具，提升對(duì)Cayley圖最小特征值的估計(jì)精度。

b.3 探索問(wèn)題的推廣場(chǎng)景：

將該研究思路應(yīng)用于更復(fù)雜的傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題，或拓展到數(shù)論、組合數(shù)學(xué)中的其他類似極值問(wèn)題。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/networks-hold-the-key-to-a-decades-old-problem-about-waves-20260128/

https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-58/issue-3/The-Riemann-zeta-and-allied-functions/bams/1183517085.full

https://scispace.com/pdf/on-the-cosine-problem-1tccl30nnb.pdf

https://eudml.org/doc/278427

https://homepage.cs.uiowa.edu/~tinelli/classes/AR-group/readingsS04/MaxCutQE_Draft.pdf

https://arxiv.org/abs/2507.10037

https://arxiv.org/abs/2507.13298

https://arxiv.org/abs/2509.03490

https://www.jstor.org/stable/2369306?seq=1

https://akjournals.com/view/journals/10998/6/2/article-p191.xml

https://arxiv.org/abs/2509.05260

小樂(lè)數(shù)學(xué)科普近期文章

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數(shù)學(xué)

更加

易學(xué)易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評(píng)論、點(diǎn)贊、在看、在聽

收藏、分享、轉(zhuǎn)載、投稿

查看原始文章出處

點(diǎn)擊zzllrr小樂(lè)

公眾號(hào)主頁(yè)

右上角

置頂加星★

數(shù)學(xué)科普不迷路！