留給人類數(shù)學(xué)家的懸賞不多了！谷歌DeepMind解決9道埃爾德什問題

聞樂 發(fā)自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI

AI進軍數(shù)學(xué)界的速度太快了。

OpenAI前腳剛用內(nèi)部模型突破埃爾德什的80年單位距離問題，谷歌DeepMind后腳就解決一個同樣卡了人類56年的埃爾德什數(shù)學(xué)難題——

最新發(fā)布AlphaProof Nexus，一套由Gemini驅(qū)動的智能體框架，一出手就是9個埃爾德什開放問題

除了這9道，它還順手證明了OEIS整數(shù)序列百科里的44個猜想、搞定了一道擱置15年的代數(shù)幾何難題、還改進了凸優(yōu)化領(lǐng)域里一個沿用已久的理論邊界。

推理成本呢？每道題幾百美元，整套證明代碼也全都開源放在了GitHub上。

這篇論文共有20位作者，其中的Aja Huang，也是2016年AlphaGo的核心研究員。

56年沒人做出來的題，AI 給了什么答案

AlphaProof Nexus解決的這幾道題，咱挑三道最有意思的說說。

Erd?s#12，1970年提出，懸置56年

這道題問的是：你能不能找出一個無限大的整數(shù)集合，滿足兩個聽起來很別扭的條件：

第一，任意從中挑三個不同的數(shù)字a、b、c，a永遠不能整除b加c的和。

第二，這組數(shù)不能太零散，在自然數(shù)里要保持一定的密度。

簡單理解就是，這群數(shù)字之間，既不能一個數(shù)整除另一個數(shù)，也不能一個數(shù)整除另外兩個數(shù)的和，同時數(shù)字還要分布得相對密集，不能只挑寥寥幾個數(shù)投機取巧。

從1970年開始，就沒人能給出這個集合的完整構(gòu)造，各種局部進展有，但始終拼不成一個整體解。

AI的解法是用中國剩余定理把大問題拆成許多個獨立的區(qū)塊，每個區(qū)塊內(nèi)部用三項等差數(shù)列的回避集來滿足約束，然后把所有區(qū)塊拼回一個完整的無限集。

Erd?s#125，1996年提出，30年沒有定論

這道題聽著就更奇怪了。

想象兩個數(shù)字集合：第一個集合里全是“在三進制下只由數(shù)字0和1組成的整數(shù)”，第二個集合里全是“在四進制下只由數(shù)字0和1組成的整數(shù)”。把這兩個集合里所有數(shù)字兩兩相加，得到一個新集合。

問：這個新集合里的數(shù)字在自然數(shù)中出現(xiàn)的頻率（數(shù)學(xué)上叫下密度）是不是正的？

直覺上你可能會覺得，兩種集合包含的數(shù)字本來就不算很多，加起來應(yīng)該也挺稀疏的。

但稀疏到什么程度？是徹底稀到密度歸零，還是多少保持一點正密度？

這中間的差別非常微妙，1996年提出后一直沒定論。

AI的答案是：密度為零。

證明思路是log?除以log?是無理數(shù)。這意味著3的冪次和4的冪次可以以任意精度彼此逼近。

利用這一點，AI構(gòu)造了一個歸納性稀疏化論證：不斷找到兩個幾乎對齊的尺度，讓密度以0.99的比率一步步衰減，直到徹底歸零。

一個純數(shù)論的性質(zhì)，解決了一個組合幾何的問題。

Erd?s#846，1992年提出，卡了人類34年。

這是個平面幾何題，AI證明了存在這樣一個無限擴展的平面點集：

你從中任意挑出有限個點，總能發(fā)現(xiàn)其中大部分點是不共線的——

隨便截一段，看起來都挺正常，但當(dāng)你試圖把這個無限集合拆分成有限個“絕對沒有任何三點共線”的子集時，辦不到。

一個集合的每個有限局部都正常，但整體頑固得不可拆分。這種全局與局部的張力，是組合幾何里最難的那一類問題。

AI把完全圖的每條邊映射到平面上一個點，用二次多項式編碼坐標(biāo)，再拉上無窮Ramsey定理完成證明，把一個幾何問題翻譯成了圖論和邏輯的語言。

除了這三道，還有六道分別在整除集構(gòu)造、范德瓦爾登數(shù)間隙、西頓集孤立點、集合拆分密度等領(lǐng)域。

同時，AlphaProof Nexus還在OEIS整數(shù)序列百科里證明了44個開放猜想，在代數(shù)幾何那邊解決了一道希爾伯特函數(shù)對數(shù)凹性的15年懸案，凸優(yōu)化那邊改進了一個錨定梯度下降法的理論邊界。

菲爾茲獎得主陶哲軒曾經(jīng)提醒過，AI目前解決埃爾德什問題的實際成功率大約在1-2%，這次谷歌的系統(tǒng)挑戰(zhàn)了353道題，解開9道，比例剛好對上了。

用幾百美元算力換一道56年難題

AlphaProof Nexus的架構(gòu)核心用一句話就能說清楚，Gemini 3.1 Pro生成Lean語言證明步驟→Lean編譯器逐行檢查→報錯直接反饋給模型→模型根據(jù)報錯修改→再檢查→循環(huán)到全部通過。

好家伙，這有點像平時寫代碼，只不過現(xiàn)在Debug的是數(shù)學(xué)定理……

在這套框架里，DeepMind設(shè)計了四個Agent

最簡單的Agent A是同時啟動多個獨立子Agent，先靠Gemini 3.1 Pro梳理解題思路，動手編寫證明代碼。

寫完立刻交給編譯器核驗，一旦報錯，錯誤信息就會傳回模型，讓它不斷修改、重試，直到通關(guān)。

全程沒有額外輔助工具，純靠寫代碼+查錯循環(huán)。

Agent B多了一樣?xùn)|西，AlphaProof。

AlphaProof是DeepMind之前專門為奧數(shù)級別題目訓(xùn)練過的強化學(xué)習(xí)證明工具。

當(dāng)Agent A模式在某個小步驟上反復(fù)卡住、編譯器反復(fù)報錯也修不過來時，Agent B可以調(diào)用AlphaProof做一次強化學(xué)習(xí)驅(qū)動的樹搜索，專門攻擊這個局部難點。

Agent C引入了進化算法的思路。

前面兩種Agent的子Agent都是各自獨立工作的，互不交流。

Agent C是所有子Agent共享一個證明草圖種群，每一個子模塊都會產(chǎn)出不同的證明草稿。

然后由另一個模型從合理性、清晰度、新穎性三個維度給每一份草稿打分，用Elo評分系統(tǒng)排名。

高分草稿會相互組合，衍生出新解法，低分草稿直接淘汰，整個種群在證明空間里做進化搜索。

Agent D是全功能完全體，進化篩選思路+專項工具攻克難點+大模型邏輯推理，三股力量在一個框架里協(xié)同，也是這次批量破解難題的主力。

這么看下來，我以為最強的Agent D應(yīng)該會碾壓一切，Agent A只當(dāng)個對照組。

結(jié)果沒想到論文里表明最簡單的Agent A，同樣能解出全部9道題

沒有進化算法，沒有AlphaProof，就一個LLM循環(huán)加編譯器反饋的Agent A，只是在難題上更費錢一點。

研究團隊把原因歸為兩個：

• 一是Gemini 3.1 Pro本身的能力已經(jīng)足夠強了；
• 二是Lean編譯器的那層實打?qū)嵉募m錯反饋，對AI的引導(dǎo)作用，遠比人們預(yù)想的更大。

這個結(jié)果或許也在預(yù)示著，未來隨著大模型能力持續(xù)升級，復(fù)雜的多工具組合系統(tǒng)，可能不再是剛需，只用大模型+專業(yè)校驗工具這套簡單循環(huán)，就能搞定大多數(shù)數(shù)學(xué)難題。

而且這套方案的優(yōu)勢也體現(xiàn)在成本上，單題僅需幾百美元。

埃爾德什生前為這些難題設(shè)置了懸賞，只是他不會想到——

解開這些謎題的可能不是人類智慧，而是算力。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2605.22763v1
Github地址：https://github.com/google-deepmind/alphaproof-nexus-results

[1]https://x.com/pushmeet/status/2058936037754224998
[2]https://the-decoder.com/google-deepminds-alphaproof-nexus-solves-decades-old-math-problems-for-a-few-hundred-dollars/

— 完 —