不精確概率與信任集的域論基礎

A Domain-Theoretic Foundation for Imprecise Probability and

Credal Sets

不精確概率與信任集的域論基礎

https://arxiv.org/pdf/2604.09272

摘要

我們開發了一個域論框架，用于在具有可數基連續開集格的一般拓撲空間上進行不精確概率推理和推斷。我們要解決兩種不同形式的不確定性：部分或不完整的事件描述，以及由信任集（credal sets）表示的概率分布集——以及它們的組合。在這個框架內，我們構建了條件概率理論，并推導了新的推斷規則，用于在這兩種互補的不精確性存在的情況下執行貝葉斯更新。這些結果被擴展到不精確概率事件的條件獨立性理論。我們還為條件概率、貝葉斯更新和條件獨立性制定了邏輯謂詞，并獲得了相關的可靠性和完備性結果。一個關鍵貢獻是構建了從任何信任集到區間域的 Scott 連續映射，提供了容量理論和 Choquet 積分經典結果的域論實現。最后，我們引入并研究了一類由具有不精確概率權重的迭代函數系統生成的新信任集族，拓寬了計算上可處理的不精確概率模型的范圍。由此產生的可計算框架統一了關于不確定性的邏輯、拓撲和測度論視角，支持在部分和集值信息下的魯棒概率推斷。

關鍵詞： 域論，條件概率，信任集，條件獨立性

1 引言

不精確概率為在信息部分、模糊或集值時的不確定性推理提供了一個魯棒框架。它通過允許分布集（信任集）和區間值概率，推廣了經典概率，從而在安全關鍵應用中實現更謹慎的推斷。

我們考慮第二可數局部緊致 Sobert 拓撲空間。我們將這樣的空間稱為基本拓撲空間。在這些空間中，開集格是一個可數基連續格 [GHK+03]，代表了一個具有可數基的空間 Locale。這些基本空間包括可分局部緊致度量空間以及可數基連續域。此外，任何 Polish 空間都是其形式球連續域的最大元素空間 [EH98]。這意味著基本拓撲空間涵蓋了概率論中使用的所有標準空間。

此外，在此類空間上的任何連續概率賦值都可以擴展為 Borel 測度 [AMESD00, KL05]。對于 Hausdorff 空間，通過所得 Borel 測度的外正則性，這種擴展是唯一的。

在接下來的章節中，我們在這種不精確設定下，為條件概率、貝葉斯更新和條件獨立性發展了一個域論基礎。一個關鍵結果是從信任集到區間概率的 Scott 連續包絡映射，它將容量論思想和 Choquet 積分提升到了域框架中 [Cho54, Gra16, ACdCT14, GL13]。我們還引入了一類由具有不精確權重的迭代函數系統生成的新信任集族。

雖然區間算術已被應用于工程背景下的貝葉斯法則 [FKG+03]，且魯棒貝葉斯分析考慮了先驗集 [Ber85]，但據我們所知，基于單調性的精確端點公式推導此前尚未發表。我們證明（引理 6.1）經典的貝葉斯更新

由于基本空間的開集格是可數基且連續的，它可以被賦予一個有效結構，使得格上的可計算開集和可計算函數可以被枚舉；見 [Plo81, Smy77]。這導致了不精確概率和信任集的一個可計算框架。

符號約定

我們用 D D 表示任何基本空間、豪斯多夫空間或域。當我們具體只處理豪斯多夫基本空間時，我們用 X X 而不是 D D來表示它。

2 域論基礎

回顧一下，完備格 L L 上的連續概率賦值 σ 是一個 Scott 連續映射 σ : L → [ 0 , 1 ] ，具有模性

2.1 可逼近關系

遵循不精確概率的既定框架和傳統，正如經典開創性著作 [Wal91] 中廣泛描述的那樣，我們將為基本的域論構造制定謂詞。這可以通過域論中豐富的可逼近映射、Locale 和 Stone 對偶性理論來實現 [Sco70, Smy77, AJ95, Abr91, Vic89]。

3 基本空間的事件域

給定一個基本空間 D ，我們將其開集視為可觀測或半可判定的謂詞 [Abr91, Smy77]。由于在概率論與統計學中取事件的補集是一項基本工具，且開集的補集未必是開集，我們考慮用不相交開集對開集的外部進行逼近。這引導我們將 D 的事件域 E ( D ) 定義為不相交開集對的偏序集，其序關系由按分量的子集包含關系給出：

4 信任集

用于指代概率分布凸集的現代術語“信任集”（credal set）在后續的處理中得到了標準化 [ACdCT14]，盡管其基礎理論是由 Walley [Wal91] 在“概率測度集”（sets of probability measures）這一名稱下發展的。

如上所述，基于域論計算得出的下概率和上概率，對應于關于由信任集 K K 誘導的容度（capacities）的示性函數（indicator functions）的 Choquet 積分。

5 事件的條件概率

5.1 條件概率謂詞

由于 Scott 連續映射 C 是由輸入連續賦值 σ 在輸入開集或其交集上的一對有理函數給出的，原則上可以通過對給定運算進行復合來獲得表示 C 的可逼近映射。然而，這種方法會導致相當復雜的表達式。一種更自然且直接的技術是為 C 的下部和上部制定兩個關鍵謂詞，并將它們與表示 σ 的謂詞 G 聯系起來。

信任集方法生成一個區間，用以捕捉跨越多個先驗分布的不確定性；而經典方法僅得出一個單一數值，該數值取決于對先驗的任意選擇（此處為平均值）。在安全關鍵型應用中，區間的下界提供了一種魯棒且規避風險的估計，而經典點估計則可能錯誤地表征真實的不確定性。進一步的比較見表3。

6 事件的貝葉斯更新

6.1 貝葉斯推斷規則

例 6.5. 考慮一種疾病的醫學檢測。設：

• H ：患者患有該疾病的假設。
• E ：檢測呈陽性的證據。

我們擁有不精確的信息：

1. 先驗患病率：根據流行病學研究，該疾病的患病率估計在 1% 到 5% 之間，但確切值是不確定的。
2. 檢測靈敏度：在患有該疾病的條件下，檢測呈陽性的概率在 85% 到 95% 之間。
3. 檢測特異性：在未患該疾病的條件下，檢測呈陰性的概率在 90% 到 99% 之間。

在經典貝葉斯分析中，通常選擇點估計：

6.2 信任集的貝葉斯更新

7 擴展到多維情形

8 條件獨立性

8.1 強條件獨立性

在本節前文中，我們已看到，經典條件獨立性意味著當兩個獨立事件 U U 和 V V 在給定 W W的條件下時，下條件支撐（lower conditional support）會分解。在此域論設定中，我們還擁有由上條件支撐所提供的額外信息。

強條件獨立性中關于右端點的額外假設具有局限性，在許多應用中不太可能成立。然而，它帶來了計算上的高效性，因為條件概率的兩個端點可以通過取對應端點的乘積來獲得。可以將強條件獨立性視為在圖模型中提供的一種用于計算條件概率右端點的“樂觀”規則。

對于強條件獨立性，我們有兩個額外的規則來取代 (CI7) 和 (CI8)：

關于各種方法的比較，見表 5。主要區別如下：

• 經典 (Classical)： 點估計 (0.56) 假設知識精確且分解完美。
• Fréchet： 保守區間 [0.42, 0.80] 保證了包含性但較寬（寬度 0.38）。
• 強 (Strong)： 更窄的區間 [0.42, 0.72]（寬度 0.30）但需要強分解假設。

關于實際意義，我們有：

• 診斷 (Diagnosis)： 如果我們需要 > 0.7 的概率來進行診斷：
• • 經典： 否 (0.56 < 0.7)
  • Fréchet： 可能 (0.42-0.80 包含 > 0.7)
  • 強： 可能 (0.42-0.72 包含 > 0.7)
• 安全性 (Safety)： Fréchet 更安全（總是包含真實概率）。
• 效率 (Efficiency)： 強獨立性更高效（區間更窄）。

最后，關于何時使用每種方法：

• Fréchet 規則： 安全關鍵型應用、未知依賴關系、保守的風險評估。
• 強獨立性： 當負面證據的獨立性合理時，效率是首要任務。
• 經典： 當參數精確已知且獨立性假設得到充分驗證時。

9 具有不精確概率的迭代函數系統

在本節中，我們通過考慮與基本空間的事件域相對偶的域，繼續橋接經典容度理論 [Cho54, Wal91] 與域論的概念。該對偶域采用基本空間的覆蓋閉子集對，并按逆包含關系排序。利用該對偶域，我們將一族新的信任集（credal sets）表述為帶有概率的迭代函數系統（IFS）的不變測度。

迭代函數系統（IFS）及其不變測度已在分形幾何和動力系統中得到廣泛研究，其應用范圍涵蓋計算機圖形學、圖像壓縮、自然現象建模、信號處理、生物結構分析以及金融時間序列 [IFS22]。我們在本節的結果為將這些經典應用擴展到概率不確定或部分指定的設定提供了數學上嚴謹的基礎。

9.1 帶概率的 IFS 的信任集

在本小節中，我們引入一族新的信任集，即那些由帶概率的迭代函數系統（IFS）的不變測度組成的信任集。IFS 理論一直是多個學科中一個活躍的研究領域。

9.1.1 具有不精確轉移矩陣的馬爾可夫鏈

在本節中，我們介紹并分析了具有不精確概率權重的迭代函數系統。類似地，據我們所知，附錄 B 針對轉移概率被指定為不精確值的有限狀態馬爾可夫鏈，提供了一種新穎的處理方法。

結論

我們為不精確概率與信任集建立了一個全面的域論基礎，提供了一個統一的計算框架，能夠同時處理部分事件描述（在事件域 E ( D ) 中表示為不相交開集對）以及由上空間 U ( P ( X ) 中的緊致信任集所表征的分布不確定性。我們的主要貢獻包括：在事件域上構造 Scott 連續的區間概率映射；基于單調性推導出的貝葉斯更新精確區間擴展及其配套的可靠且完備的推斷規則；針對不精確事件的條件獨立性理論，同時包含保守型（Fréchet）與強分解規則；以及引入了一類由帶有不精確概率權重的迭代函數系統所生成的新型信任集族，并給出了相關不動點映射連續性的證明。我們為相關概念制定了邏輯謂詞，并推導出了相應的可靠性與完備性結果。所有運算均能 Scott 連續地擴展至信任集空間，從而保證有限逼近的收斂性。

本工作為信任網絡與不精確貝葉斯網絡的域論處理奠定了必要的數學基礎架構。該框架保證了基于不精確參數與部分指定觀測的推斷具備計算上的嚴謹性，其由域論的逼近性質以及通過可逼近映射構建的邏輯基礎所支撐。未來的工作將集中于構建顯式的域論信任網絡，開發利用本文所提連續性與逼近結構的精確及近似推斷算法，并將該方法拓展至不精確環境下的序列決策問題。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2604.09272