圓周率能算盡嗎？普朗克長度表明不能無限分割，圓周長是如此嗎？

這個問題很有意思，先說第一個問題的答案：圓周率是算不盡的，并且與幾進制無關。

圓周率的來歷及特征介紹

圓周率π在數學上叫無限不循環小數，又叫無理數，這樣的數有無限個，像我們熟悉的√2、√3、√5等等都是無理數，它們的位數都是無限的。最初是因為圓使我們認識了π，π是圓周長與直徑的比值，這個比值是個除不盡的常數。
人們為了得到精確的數值，用不同的方法進行計算，最早在古代人們用割圓術，即作圓的內接多邊形和外接多邊形，然后一直把邊數翻倍，使得邊周長不斷逼近圓周長，以此求得的圓周率的上下限無限接近圓周率的精確值。不要把π看的太神秘，每個無理數的背后都對應著某些幾何圖形，比如說正方形的對角線的長度就是其邊長的√2倍，如果取邊長為1，那對角線的長度就為√2。再比如說60度直角三角形中，60度對的直角邊與另一個直角邊的比值就為√3，等等。這是因為無理數和有理數一樣，是非常普遍的。圓周率π唯一特殊的地方就是它還是一個超越數。所謂超越數就是π不可能是任何整系數多項式的根。圓周率的超越性否定了“化圓為方”這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖法只能得出代數數，而得不出超越數。這就是我們將要回答的第二個問題涉及的問題。

關于第二個問題和數學上的一些特征

在答題區我發現好些人把第二個問題理解成周長是否像圓周率那樣也是無理數而算不盡的問題，實際上是理解錯了，題主的意思應該是：因為圓周率是通過不斷割圓的周長來取得精確值的，但普朗克長度是最小的長度，不能再對它進行分割，那割圓術把圓周長如割到小于普朗克長度時是否也不能再割？

德國科學家普朗克――量子力學創始人之一

普朗克長度是在量子力學中認為的物理現實中最小長度單位，其大小為1.616229（38）x10^-35米，量子力學認為任何小于普朗克長度的距離都是沒有意義的。因此它們認為物質不能無限可分。不過無論物質到底能不能無限可分，在數學上都是能夠無限分下去的。數學上無限的東西太多了，也允許無限的存在，比如說整數是無限的、自然數是無限的、小數是無限的、奇數是無限的等等等等，這么多的無限是因為數學是對現實的抽象，所謂的點線面體不過是對現實事物的概念化，在數學中一個點可以無限小、一條線由無數個點組成，無數條線組成一個面、這個面無限薄，無限個面組成一個立體，但在現實中是不存在無限小的點、沒有厚度（無限薄）的面，因此數學和現實不是一回事兒。

第二個問題的解答

一，那圓的周長在現實中沒法分下去，這是因為：

1，割圓術在實踐上越來越難，幾何法時期早已過去。

自從古希臘的阿基米德開始，到我國公元263年的劉徽，用割圓術到了3072邊形，圓周率精確到小數點后三位，劉徽說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”包含了求極限的思想。再到南北朝的祖沖之精確到小數點后7位，

最后直到1610年德國數學家魯道夫計算到小數點后35位止，幾何法越來越難，用不著到普朗克長度，在實踐上也無法操作，每增加一倍邊數，計算量就是以前所有工作的兩倍。

2，普朗克長度的限制。

即使在實踐上能夠操作，但邊長長度真到了普朗克長度，如果真像量子力學認為的，在實踐中沒有小于普朗克長度的東西，到了那時自然也就無法分下去。

3，超越數的特點

數學不但有無限，還有極限，像微積分就是極限的體現，什么化曲為直、化圓為方、曲直轉化、不變代變，什么積分是微分的無限積累，還有在割圓術中劉徽的極限思想，這些思想當然都超越了普朗克長度的限制，但是圓周率π卻是個超越數，上面說過圓周率的超越性否定了“化圓為方”這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖法只能得出代數數，而得不出超越數。也就是說劉徽“化圓為方”的極限思想和他的尺規作圖方法是不適用于無限分割圓周長的。

二，π在數學上的分割或計算根本不理會普朗克長度

前面說過，數學是抽象化的，它才不管什么普朗克長度限制來。在分割圓求圓周率的問題上，十七世紀以后人們用分析法來求π，一般用無窮級數或無窮連乘積求π，梅欽（英國數學家梅欽1706年推出第一個公式）類公式，五花八門，但這種方法雖然擺脫割圓法的繁復計算，但仍屬人工計算，到1948年英國的弗格森和美國的倫奇共同發表了π小數點后808位小數值，這是人工計算的最高紀錄。

1949年計算機的出現使π值計算進入突飛猛進地步，第一臺電腦只用了70個小時就把π值計算到了2037位，以后紀錄不斷被刷新，計算公式也不斷更新，2011年日本人近藤茂利利用家中電腦和云計算把π計算到了10萬億位。剛剛2019年3月14日（國際圓周率日）谷歌日本女員工Emma Haruka Lwao將圓周率π算到31萬億位。
雖然離普朗克長度對應的位數還有幾個數量級，但將來肯定會輕松超越。普朗克長度是為呼應量子力學的量子化而出現的，它對應的是普朗克質量的黑洞所對應的史瓦西半徑，與康普頓波長相當，它主要是在測量方面的影響，與純抽象的數學運算無關。總之在數學上圓的周長可以無限分割，而不必考慮普朗克長度，也不必考慮超越數限制，因為你永遠不會得到圓周率π的精確值，又何必在乎能不能畫出精確圓來，π的位數已經達到幾十萬億位了，這個精度足夠了，早已超越最精確的誤差！！