談談量子力學中的幾個基本方程

|作者：沈順清

(香港大學物理系）

本文選自《物理》2026年第3期

從1999年開始，我一直在香港大學講授量子力學。2025年是量子力學誕生一百周年，出現了不少紀念文章，也有一些紀念活動。有不少頗為動人的傳奇故事，讓人對那個時代充滿遐想。但每當翻開教科書，看到教科書中的每一個方程時，我總覺得和那些傳奇故事還是有很大的差異。在本文，我想借助量子力學成型后的幾個主要方程，來談談與之相關的幾個主要創始者。我有意避開了主要的物理實驗，盡管它們在量子力學的建立過程中都起過重要作用。我僅探討經過百年的發展和精煉，支撐這個理論的幾個最基本方程的發現和發展過程，它們在量子物理建立過程中的作用，以及教學中常忽視的內容，甚至是誤解。從這幾個刻在墓碑上的數學物理方程，也可看出一個科學理論的核心支柱，其實是非常簡潔明了的。

01

普朗克常數h/?的出現

現代量子論的第一縷曙光，毫無懸念地應該歸結于德國物理學家馬克斯?普朗克在1900年提出的有關黑體輻射的電磁輻射率和頻率ν的關系式[1]：

這個公式和當年的實驗數據完美吻合，也和當時的兩個高頻和低頻極限下的經驗公式完全一致。讓人不得不相信和接受這個方程的正確性。這個方程中首次出現了兩個新的物理常數，即普朗克常數h或?=h/2π和玻爾茲曼常數kB。c是光速。然而，這個公式中的hν有能量量綱，它的物理含義超出了當時的物理認知，是經典理論無法解釋的。普朗克發現，如果用當時的玻爾茲曼統計理論，輻射光中含有粒子的話，它們的能量必須是分立的，即量子，這對經典物理來說是不可能的，而且是難以接受的。對經典粒子來說，能量都是連續分布的。直到1905年愛因斯坦提出光由光子組成，hν為光子的能量，并用它成功解釋了光電效應。將光理解為有粒子屬性的光子，無疑具有革命性的思想。它的真正理解是量子力學誕生之后，1927年英國理論物理學家保羅?狄拉克完成了電磁場的能量量子化理論，證實了愛因斯坦的猜想，并提供了堅實的理論基礎。1925年后發展起來的量子力學和量子統計理論，將光子看成是滿足玻色—愛因斯坦統計的玻色子，可以推導出普朗克的方程，證明它是完全正確的。現在我們知道，這個超前出現的物理公式的適用范圍可以從實驗室的小爐子到整個宇宙的微波背景輻射，具有令人難以置信的普適性。可以說，普朗克常數h的現身是現代量子論的第一個標志，后來刻在了普朗克的墓碑上(圖1)。

圖1 馬克斯?普朗克的墓碑。上面刻有普朗克常數的數值，h=6.62×10-34 W·s2。現在在國際標準單位制中h是被定義的物理基本常數

在這個方程中同時引入的另外一個常數kB，后來被稱為玻爾茲曼常數，而不是普朗克第二常數。普朗克在他的諾貝爾獎演講中還專門強調，“這個常數通常被稱為玻爾茲曼常數，但據我所知，玻爾茲曼本人從未提出過它——這很奇怪，原因可能是，從玻爾茲曼偶爾的言論來看，他從未考慮過對這個常數進行精確測量的可能性”[2]。kB可由理想氣體常數R和阿伏伽德羅常數NA的比值來確定，kB=R/NA。當時R是已知的，普朗克從黑體輻射的實驗數據精確給出了NA，并由法拉第常數推出了基本電荷e的數值，其精度也遠高于當時的測量值。一個方程中同時引進了兩個被現代國際單位制SI中定義的基本物理常數(另外兩個是光速c 和基本電荷e)，它同時還暗示了可能出現新的科學。這是科學史上絕無僅有的個例。因此，它的重要性無論怎么評價，都不過分。這也可以理解為什么二戰后德國國家科學機構被命名為馬克斯?普朗克學會和眾多的馬克斯?普朗克研究所，用以紀念普朗克的偉大科學貢獻。

02

普朗克關系和德布羅意關系

普朗克關系是指粒子能量和頻率的關系式：E=hν。有時也被稱為普朗克—愛因斯坦關系，起初主要是從普朗克公式出發，強調光的粒子屬性的一面。經典物理中粒子有兩個物理量來描述，能量和動量，而基于麥克斯韋方程的電磁學理論認為光是一種電磁波，它也有兩個物理特征量，頻率和波長。1924年法國青年學者路易?德布羅意在他的博士論文中提出了粒子動量和波長λ的關系式。這兩個公式一起[3]

把大家熟悉的光的波動特性和粒子特性結合統一起來。它們揭示了物質的波動性和粒子性的兩個方面，即波粒二象性。他把相對論中粒子的能量和動量組成的四維矢量，推廣到頻率和波矢組成四維矢量。這兩組不同物理量之間的聯系是普朗克常數。德布羅意認為，光子也有個微小的質量，這樣有質量的粒子如電子等和光子一樣都具有波的特性，波是物質的一個基本屬性，并提出了相位波(phase wave)的概念。相位波本身并不帶有能量，但有波長和相速度。利用駐波的特性，德布羅意可以推導出半經典的玻爾—索末菲量子化條件，和相空間的量子化條件，在量子理論方面邁出了極為重要的一步。人類第一次認識到微觀粒子同時具備粒子和波動的性質，將經典物理的動量和能量的概念以及波的頻率和波長統一到微觀的粒子上，是物質的基本構成，從而揭開了量子世界的神秘面紗。當頻率和波長和粒子的概念聯系上后，粒子其實也不是原來意義上的概念了。如光子實際上是光的電磁場量子化后的一種能量振動模式，每個振動模的能量是分立的，既不是粒子也不是波，超出了粒子和波的經典圖像。德布羅意的博士論文被稱為史上最重要的博士論文。德布羅意的思想當時并沒有實驗支持，但是影響極大。這一點和有些人一直強調的實驗觀測推動物理發展的論斷不同，在關鍵的節點上，原創理論的突破往往是超前的。保羅?朗之萬將德布羅意的論文送了一份給愛因斯坦，愛因斯坦讀后立刻意識到這是期待已久的理論突破，并向他的同行推薦，如玻恩。德布羅意的思想對量子物理的產生和發展起到了積極推動作用，一年后直接激勵了薛定諤給出描寫物質波的薛定諤方程，創立了波動力學。“相位波”概念只是過渡性的理論，但這兩個方程留下來了，有了新的物理含義。他的理論提出了四年后，德布羅意獲得了1929年諾貝爾物理學獎。

03

矩陣力學：對易關系和運動方程

在1925年夏天開始建立的矩陣力學中，兩個代表性的數學方程是德國哥廷根大學的玻恩和他的學生約當提出的基本對易關系（注：在許多教科書中，把基本對易關系稱為正則對易關系，我覺得基本對易關系更確切些。）和運動方程[4]：

早在1923年至1924年冬季，玻恩給出了一系列有關“原子力學”的講座，探討舊量子論的局限性并規劃一個建立“終極原子力學”的計劃。1924年他發表了“關于量子力學”一文[5]，歷史上首次引進“量子力學”一詞，他給出了新的量子力學有別于舊量子論的條件：自然中所有基本變化必須是非連續的，作用變量的改變應該是普朗克常數的整數倍。1925年6月，玻恩和他的學生約當，完成了一篇量子轉變過程的微擾理論，其中就用到了分離的“量子矢量”，即矩陣元[6]。到了7月份，海森伯在德國北方小島度完假后，將他的手稿交給玻恩，看是否值得發表，就去了英國劍橋訪問。海森伯在文章中結合了玻恩和約當的力學自由度不連續表示和玻爾的虛擬振子的思想，利用傅里葉變換試圖建立發射光譜頻率強度和玻爾原子模型中原子軌道頻率之間的關系，并發現了一些求和規則。同時利用托馬斯和庫恩對玻爾—索末菲量子化條件的修正，得到了諧振子的本征值，包括零點能，這是著名的“一人文章”[7]。玻恩在閱讀了海森伯的手稿后，立刻認識到這些求和規則實際上是矩陣的運算關系。要得到海森伯的結果，動量p和位置q不能對易，需要滿足基本的對易關系。玻恩覺得需要一些更嚴格的證明，于是先去找他的前助手泡利，泡利直接拒絕了玻恩，還說不希望玻恩的數學毀了海森伯的物理思想。玻恩只好找自己的學生約當，約當在幾個星期內完成了證明，并且同時建立了運動方程，玻恩和約當的文章9月份寄出，這是著名的“二人文章”[4]。到11月份，把“二人文章”做了推廣并加上部分應用，玻恩、海森伯和約當又寫了一篇“三人文章”[8]。至此，這三篇“一人文章”“二人文章”“三人文章”的問世，正式標志矩陣力學的成型。而基本對易關系的建立，標志了新的量子力學的誕生。它第一次揭示了物理算符的不可交換性，同時賦予了普朗克常數h不同尋常的物理含義，成為量子物理的基本標示。玻恩十分自豪自己“是寫下不可交換符號的物理定律的第一人”，是他“研究生涯的高潮”。而運動方程應該是約當對應經典的哈密頓方程首先推導出來的。但這兩個方程的重要性因為其數學特性，當時明顯被人低估了。現在，這兩個方程是量子力學的基本假設，其實是不可推導的。

雖然一起合寫了“三人文章”，但海森伯本人對玻恩和約當的數學部分的內容并不了解，甚至有所保留。這反映在他當時寫給泡利的信中：我身處一個思維和感受與我截然相反的環境，我不知道自己是否太笨，無法理解數學。哥廷根分裂成了兩個陣營，一派像希爾伯特……他們談論矩陣引入物理學所帶來的巨大成功；而另一派，像弗蘭克，則認為我們永遠無法理解矩陣。現在常有人提到海森伯不懂矩陣，卻建立了矩陣力學，應該是言過其實了。如果青年海森伯將他的手稿交給玻爾，而不是玻恩，那可能又是另外一個命運了。當然，歷史沒有如果。

然而，另外一個天才的橫空出世，讓整個學界震驚。英國劍橋大學當時年僅22歲的研究生狄拉克，在1925年底，獨自一人發表了題為《量子力學的基本方程》的文章[9]。在那年8月狄拉克的導師拉爾夫?福勒(Ralph Fowler)教授交給他海森伯的一人文章，3個月后，狄拉克利用經典力學中泊松符號的關系，導出了基本對易關系，并建立了運動方程。文章簡明清晰，一出手，就是教科書級別的。按楊振寧的說法是“秋水文章不染塵”。這個工作應該獨立于玻恩和約當的工作，而且早于那篇著名的三人文章。狄拉克的博士論文直接以《量子力學》為題，這也是物理學史上的另一篇最重要的博士論文。玻恩在讀到狄拉克的文章后，十分震驚。事后，他承認這是他科學生涯中最為震驚的事件之一，他以為自己和學生創立了矩陣力學，結果卻要和一個從不知名的小青年來分享。當然，碰到天才是痛苦的，即使他自己也是一位大學者。所以，矩陣力學可以說是德國哥廷根的玻恩、約當和海森伯，以及英國劍橋的狄拉克分別獨立地發展起來的，而海森伯的一人文章是重要的催化劑。

圖2 馬克斯?玻恩的墓碑，上面刻有基本對易關系，

后來基本對易關系被刻在玻恩的墓碑上，用來紀念他對現代科學的偉大貢獻(圖2)。但在教科書中，基本對易關系和運動方程鮮有人以玻恩—約當甚至狄拉克的名字來命名，這有違于當時的學術傳統和慣例，而且運動方程在教科書中時常被稱為海森伯運動方程，這也是特別荒謬的。海森伯的“一人文章”中唯一一次出現的運動方程其實是牛頓方程。一直以來，哥本哈根學派把測不準原理作為量子力學的一個基本原理，到現在還有許多學者這樣認為。其實海森伯的測不準原理是由基本對易關系加上測量原理，可以直接推導出來的必然結果，我每年在量子力學的課堂上都會推導一次，推導多了，就懷疑它是否真的是基本原理。可見基本對易關系才是量子力學中更為基本的方程，這一點在一般教科書中并沒有強調。對易關系本身決定了位置和動量的不可同時測量性，是物理的本質，它并不是由物理測量過程引起的。量子世界的不確定性是由基本對易關系決定的。當然，對量子物理的理解也需要一個歷史過程。

狄拉克后來說，那個時代，往往二流的物理學家可以做出一流的工作。從泡利拒絕玻恩一事，我覺得這是一個反例，一流物理學家有時也只能做二流的工作。其實泡利晚年對自己的科學成就也有反思，不知是否也包括對玻恩的傲慢和拒絕一事，至少他嚴重低估了線性代數對矩陣力學的建立起到的關鍵作用和更深刻的影響。另外，海森伯和泡利起初對矩陣關系和形式理論的抗拒，也從另一個側面說明玻恩和約當工作的獨立性，他們的工作并非海森伯工作的簡單推廣和衍生。同時也反映出，一百年前人們對數學在描述物理過程中的作用，在認識上存在一定的局限性。

聯合國教科文組織將2025年定為量子科技國際年(IYQ2025)，是以1925年矩陣力學的誕生為標志，也有人認為是以海森伯在德國北海的黑爾戈蘭島的思想突破為起點。其實從1924年德布羅意的理論開始，就已經揭開了建立量子力學的序幕。

04

波動力學：薛定諤方程

從1925年的圣誕節開始，到1926年的9月，奧地利物理學家埃爾文?薛定諤以“量子化作為本征值問題：I—IV” (Quantization as an eigenvalue problem)為題目連續發表了4篇系列論文，提出了以他名字命名的方程，靜態的薛定諤方程[10—13]：

和含時的薛定諤方程：

這個理論的建立主要受德布羅意相位波的思想和德國數學家赫爾曼?外爾規范理論的啟發，而直接誘因是他在瑞士高等理工學院(ETH)的同事皮特?德拜。德拜在薛定諤介紹德布羅意工作的一個非正式研討會后直接問到，“如果粒子是波的話，應該有個方程吧？”薛定諤以他非凡的物理直覺和對現實世界的實驗結果的深刻理解，獨自一人完成了這個使命。在幾周后的一個報告會上，薛定諤對德拜說，“你要個方程，我就給你一個方程”(圖3)。

圖3 在奧地利阿爾卑巴赫村(Alpbach Village, Austria)的薛定諤墓碑，上面刻有含時薛定諤方程

至今我并不真的相信他的所謂數學推導，這個方程在當時應該也不可能是推導的，因為這些數學符號和它們代表的物理含義，當時連薛定諤自己都不是很清楚。他只是覺得，如果粒子是波的話，從經典的波動方程出發，利用經典力學中的一些關系式，一步一步地可以給出有關神秘的ψ的方程式。至于神秘的ψ是什么，他也不知道。但這還是能反映出薛定諤深厚的物理數學功底，以及他對新興物質波的理解，同時也能反映出薛定諤的思想歷程。海森伯當時就懷疑薛定諤是利用自由粒子的動能與動量的關系
，德布羅意關系式，加上平面波的數學函數形式ψ(x, t)∝ei(kx-ωt)=ei(px-Et)/?直接猜出來的。著名的物理家理查·費曼在演講中對薛定諤方程作了如下論述：“我們從哪里得到這個方程？哪兒也找不到。你不可能從任何已知的事物中推導出它。它源于薛定諤的思想，是他在努力理解現實世界的實驗觀察結果時發明的”。

神奇的是薛定諤方程和氫原子能譜的解是同時出現。1925年底已有新聞說泡利利用矩陣力學推出了氫原子能譜，而薛定諤在1926年1月底投出他的文稿[10]時，日期其實只比泡利的文章[14]晚十天。在那個靠郵差人工投遞的年代，這個時間差應該是可以忽略不計的。薛定諤說他是從哈密頓—雅可比方程出發，用神秘的lnψ代替了作用量S，推導出他的方程，也沒解釋怎樣得到這個方程。但是能從一個微分方程推出分立的氫原子能譜，即使是巧合，也是令人震驚的。這個結果為他的方程的合法性提供了一個強有力的支持。在他的第二篇文章中[11]，薛定諤試圖從最小作用量原理推導了這個波動方程，同時給出了諧振子和剛性轉子的解。這些解都是可以在現在的量子力學教科書中看到的標準題目和解答。在第4篇文章中[13]他進一步給出了含時薛定諤方程。在這期間，他以“海森伯—玻恩—約旦的量子力學和我的之間的關系”為題，發表了另外一篇文章[15]，在連續“位置表象”中，位置r是連續變量，可以得到動量的算子表示p=-i??r，這樣位置和動量就滿足與矩陣力學相同的基本對易關系，這也暗示他的理論和矩陣力學的內在聯系。然而薛定諤本人對矩陣力學的繁雜代數與抽象含義還是十分排斥的。可以說，薛定諤在1926年頭6個月創造力的噴發，憑一己之力完成了6篇系列文章[10—13，15，16]，獨立一人創立了波動力學，這是完全可以與愛因斯坦1905年的奇跡年相比的。而神秘的波函數ψ則由玻恩給出了物理詮釋[17]。

對于物理學家來說，當時對矩陣和線性代數相當陌生，抽象難懂；但求解微分方程本征值是當時理論物理學家十分擅長的。因此薛定諤的理論出現后，很快被人們接受和喜愛。

05

波動力學和矩陣力學的等價性

矩陣力學和波動力學從誕生開始，就是兩個面目完全不同的雙胞胎。泡利首先利用開普勒問題中的對稱性，利用玻恩和約當的矩陣力學方程推導出了氫原子光譜[14]。老實說，即使今天出現在教科書中的推導，也能明顯感到拼湊的感覺，遠不如用矩陣方法推導諧振子解那么簡明和順暢。幾乎同時薛定諤用他的波動方程同樣也解出了氫原子能譜[10]，結果和泡利導出的一樣，但推導過程更加嚴格，明了，易于理解。然而，由于形式上兩個理論完全不同，物理含義也并不清楚，兩組人員之間起初并不相互認同，甚至相互傷害。海森伯在給泡利的信中說，“我越思考薛定諤理論的物理部分，就越覺得它可怕……我覺得它是‘Mist’ (禮貌的翻譯是‘垃圾’)……薛定諤理論的偉大成就是矩陣元的計算”。而薛定諤在談論矩陣力學時也說，“現在，該死的哥廷根人使用我美麗的波動力學來計算他們的‘scheiss’ (禮貌地翻譯為‘垃圾’)矩陣元素”。德語中的Mist和scheiss都不是什么文雅的詞匯。但相同的氫原子能譜的結果卻使大家認識到這兩個理論之間的可能聯系，薛定諤首先意識到兩者的等價性，并發表了文章[15]。隨后狄拉克[18]和約當[19]分別提出了變換理論(transformation theory)，利用線性代數中兩種基矢之間的幺正變換，可以直接證明兩個理論之間的等價性。兩種力學形式只不過是不同基矢下的不同表示而已。而作為可觀測的物理量，它的本征值在不同的表象下是一樣的，可以給出相同的物理測量結果。聯系表象之間的變換矩陣或函數，就像一本中英文字典，量子物理只有一個，但用中英文表達出來后，看上去就完全不一樣。至此，具有兩種不同形式的量子力學就基本建立起來了。

波動力學和矩陣力學發展過程中的獨立性以及兩個理論的等價性可以給出一個方程：

波動力學=矩陣力學.

波動力學是薛定諤基于德布羅意的物質波概念發展起來的，而矩陣力學是玻恩等三人加上狄拉克發展的。這兩個理論獨立且平行，這樣似乎可以得到另外一個方程：

薛定諤=玻恩+海森伯+約當+狄拉克.

玻恩對波函數做了詮釋，也是對波動力學做出了重要貢獻。當然，如果說這5個人合在一起共同創立了量子力學，這樣并不為過吧。

06

幾率波詮釋，測量原理和馮?諾依曼的量子力學數學基礎

量子力學是一個少有的科學理論，在其數學方程建立后，方程中數學符號的物理含義連這些創立者自己都并不完全清楚。玻恩首先提出了薛定諤波函數的統計詮釋：

將波函數ψ的模的平方解釋為幾率密度[20]。這一點石破天驚，將不確定性帶進了現代物理世界，同時也引起了極大爭論。愛因斯坦的“上帝是不會擲骰子”的論斷就是一個例子。因果律一直是當時物理學家所信奉的，玻恩的統計詮釋直接沖擊了這一信條。現在不確定性、相干性、疊加性和糾纏性一起已經成為了量子世界的四大基本屬性。海森伯起初并不贊同玻恩的解釋，甚至認為玻恩的詮釋是他對矩陣力學的背叛。有趣的是，這個統計詮釋后來成為以玻爾和海森伯為首的哥本哈根學派的核心內容。

要將抽象的數學符號和物理世界聯系起來，不能脫離物理的實驗觀測，這也是對物理數學方程的必然要求。狄拉克和馮?諾依曼分別提出了量子力學的測量理論(圖4)[21，22]，基本思想是任何一個量子狀態都可以用任何一個可測量物理量的完備本征態來表達，物理測量的結果是系統的量子狀態必須塌縮到其中的一個本征態上，它的本征值就是測量的結果，測量該本征態前的系數，決定了這個狀態出現的幾率(圖4)。基于這個測量原理，薛定諤方程中的波函數和本征值，就和可測量結果直接聯系上了。有關量子態的塌縮是一個物理演化過程，是量子力學的一個最基本假設。這一點不同于經典物理，經典物理的測量是不會改變物體狀態的。在現代科技發展的今天，這個假設還是一個需要實驗檢驗的問題。

圖4 馮?諾依曼的測量概念。狄拉克也有類似思想

1932年，匈牙利出生的數學家馮·諾依曼發表了《量子力學的數學基礎》[22]。他利用希爾伯特空間里的算子和矢量，提出了密度矩陣、測量理論和不存在隱性變量定律，為量子力學公理化和完備性提供了堅實的數學基礎。他書中的一些基本技術和公開問題一直到今天還在繼續探討，特別是量子力學的完備性等基礎問題。他試圖探討是否存在某些未知參數，會導致量子狀態的統計行為。他發現如果這樣的隱性變量存在的話，量子力學就會是錯的，由此，他進一步給出了不存在隱性變量定律。后來大衛?玻姆(David Bohm)延續德布羅意的思想，曾試圖挑戰這一定律，發展了隱形變量理論，激發約翰?貝爾(JohnBell)將愛因斯坦的局域性原理和Einstein—Podolsky—Rosen(EPR)詳謬，轉化為貝爾不等式，可以用實驗來檢測。不過到20世紀末，實驗表明，正統的量子力學還是經受住了挑戰。20世紀50年代馮·諾依曼在普林斯頓時，泡利打趣對他說，“如果物理是證明的話，你應該是個偉大的物理學家”。馮·諾依曼發表了他的專著后，沒有繼續量子力學，甚至物理方面的工作，但他在數學，計算機的基本原理，以及經濟學中的博弈論幾個方面都取得了卓越成就。他的確也是一位偉大的物理學家。

07

狄拉克方程

到1927年，量子力學基本建立以后，其實還存在許多不盡人意的地方，其中之一就是薛定諤方程是非相對論的，所得到的氫原子能譜還不如索末菲利用舊量子論得到的相對論的氫原子能譜精確。1928年，狄拉克利用相對論中的愛因斯坦質量—能量關系，提出了相對論的狄拉克方程[23]：

或：

方程中的符號，αn和β以及γμ都是矩陣，而非一般常數，波函數ψ也從薛定諤方程中單分量被推廣到多分量的。狄拉克方程滿足量子力學和相對論中的所有基本原理，是量子論和相對論的完美結合。有人曾說狄拉克其實只是對愛因斯坦的質能關系E2=p2c2+m2c4做了一個因式分解，
，但狄拉克矩陣的引入，和矩陣算子與物理觀測量之間的聯系，在當時是非常規操作，需要極深的物理洞察力和數學功底。這個方程成功解釋了電子自旋的來源，并可以給出氫原子光譜的精細結構。這個方程提出后仍然遭到眾多的質疑，其中之一就是它的負能量解。狄拉克起初將它解釋為帶有正電荷的質子的解，后來才用它解釋了帶正電荷的正電子。狄拉克對自己的方程非常自信，這么優美的數學方程怎么可能會是錯的呢？如果錯的話，也只是我們還沒能理解它所代表的物理含義。只要方程正確了，正確的解釋最終總會到來的。后來發展也的確證明了這一信念。正是這個備受質疑的負能量解，開創了正負粒子和反物質等基本粒子的研究方向。所以說，狄拉克是一位能品出物理數學公式之優美的人。當然，這也導致了他對后來的量子電動力學中過于復雜的計算有所保留，而自己沒能力再發現一個簡單的方程，遺憾終身。

狄拉克方程的重要性，遠遠超出了包括他本人在內的當時所有物理學家的預期，除了電子，它可以描述所有自旋1/2的有質量粒子，比如粒子物理標準模型中的夸克(它是物質最基本的一種組成成分)。狄拉克方程是現代物理學最重要的方程之一。狄拉克方程這一成就，讓狄拉克可以比肩牛頓、麥克斯韋和愛因斯坦，成為歷史上最偉大物理學家之一。狄拉克方程影響深遠，在不同物理領域有著廣泛的應用，一直延續至今。除了在高能物理和基本粒子的應用，它在現代凝聚態物理中也有廣泛應用，例如源于狄拉克方程的相對論量子力學效應——自旋軌道耦合，為用電場操控電子自旋狀態提供了一種途徑，現已是自旋電子學的基礎，為設計下一代半導體電子器件開辟了方向[24]。我在2012年發表了學術專著《拓撲絕緣體》，副標題就是“狄拉克方程在凝聚態物理中”。利用狄拉克方程，可以系統地描述拓撲絕緣體和拓撲超導體的物理性質[25]。2022年我提出的具有半整數量子霍爾效應的宇稱反常半金屬，其實也是無質量狄拉克粒子的一個內稟屬性[26]。

狄拉克方程后來刻寫在倫敦威斯敏斯特教堂牛頓科學角的紀念狄拉克的地牌上(圖5)。學物理的和研究物理的同行到了倫敦，都愛去瞻仰一下，表示自己的崇敬。我認識的朋友中，就有好幾位在微信朋友圈里展示過相關的照片。

圖5 作者在倫敦威斯敏斯特教堂狄拉克紀念牌前(2024年6月26日)。上面刻有狄拉克方程iγ·?ψ=mψ

08

狄拉克—費曼路徑積分：量子力學的第三種形式

路徑積分是量子力學的另一種形式。在時空起始量子態之間傳播子可以寫為所有路徑的變分[27，28]：

其中(xi, ti)和(xf, tf)為起始的時空量子狀態，L為經典的拉格朗日量。這個方程是狄拉克在1933年發表于前蘇聯一個新辦的《蘇維埃物理學雜志》上的一篇“小文章”[26]，他那時受前蘇聯物理學家卡皮查的影響，思想頗為左傾，以此表示對新興蘇維埃物理學的支持。物理上，可以說狄拉克是個保守的革命者，他認為新的量子力學應該可以從舊的經典力學延伸過來。這個工作是他的一個嘗試。拉氏量是經典力學的核心概念，由最小作用量原理，可以確定粒子的運動軌跡，推導出牛頓的運動方程。狄拉克認為時空中的起始狀態間的傳播子，也是由經典的拉氏量來決定，把普朗克常數?作為作用量的單位，可以清晰地定義經典到量子力學的界面。由于對于經典粒子來說，?是個極小的量，任何對經典軌道的偏離，會引起巨大的相位漲落，引起整體相消，它的運動軌跡只能由經典的拉氏方程決定；而對微觀粒子來說，?提供了一個量子漲落的尺度，則由薛定諤方程來決定。同樣，沒人知道狄拉克當時是怎樣想到這個關系式的，神來之筆。這是他在1933年量子力學形式理論塵埃落定后，又開辟的一個新方向。

直到16年后，1948年美國物理學家理查德?費曼在《現代物理評論》上發表了名為“非相對論量子力學的時空方法”的文章[28]，進一步完善了這個理論。費曼從這個公式中推導出了薛定諤方程，表明它和量子力學的等價性，同時也賦予路徑積分更深刻的物理含義。這個理論在后來的粒子物理和量子場論中得到了廣泛應用，常被稱為費曼路徑積分，成為理論物理學家的一個基本的研究手段。這篇文章2025年入選了美國物理學會的物理期刊的《量子基礎選集》(Quantum Foundations Collection)。不過，它的原創性還應該是狄拉克的，在狄拉克的量子力學教科書中也提到了這個關系。費曼的文章中的第一個引文，就是狄拉克的文章[27]和量子力學教科書[21]，他應該是讀過狄拉克的文章的。費曼一直很自負的，當他和狄拉克見面后，沉默寡言的狄拉克問了一句，“我有一個方程，你有嗎？”，讓費曼立刻覺得自己和狄拉克的差距，他最拿手的路徑積分也是源于狄拉克的“小文章”。后來，費曼因量子電動力學和粒子物理的貢獻獲得1965年諾貝爾物理學獎。

09

1927年索爾維會議：勝利的大會

1927年10月的索爾維會議，主題是“電子和光子”，主要討論量子論的發展現狀。這是物理學史上的一個重要會議，它標志著量子力學正式得到學界的認可，是個團結和勝利的大會(圖6)。會議只安排了五個口頭報告：

(1)威廉?布拉格(W. L. Bragg)：Ｘ射線反射強度(The intensity of X-ray reflection)；

(2)康普頓(A. H. Compton)：實驗和電磁理論的不一致性(Disagreements between experiment and electromagnetic theory)；

(3)路易?德布羅意(L. de Broglie)：量子的新動力學(The new dynamics of quanta)；

(4)玻恩和海森伯：量子力學(Quantum mechanics)；(這個報告包括對變換理論的討論，狄拉克的電磁場量子化，約當的二次量子化理論。)

(5)薛定諤：波動力學(Wave mechanics)。

圖6 1927年索爾維會議參加者的合影，布拉格缺席。青年狄拉克居于中心位置

會議是邀請制，而量子力學的一個主要貢獻者約當并不在邀請之列。約當的政治立場可能也是讓他對創立量子力學的貢獻沒有得到應有認可的原因之一，甚至可能也連帶影響他的導師玻恩。從報告的安排來看，兩個實驗報告分別是英國物理學家布拉格的X光反射和美國物理學家康普頓的電子衍射實驗，都與粒子的波動性有關。理論方面的報告是，德布羅意的量子論，玻恩領頭的矩陣力學和薛定諤的波動力學。這也基本上和前面介紹的幾個基本方程所涵蓋的內容相一致。量子力學的名稱是玻恩1924年首先提出的，他占了先機，薛定諤只好繼續用波動力學的題目，好在兩者是等價的。至此，量子力學基本成型，流派也非常清晰。新生的量子力學也遭到一些質疑，最主要的質疑集中在波函數的統計詮釋和量子力學的完備性方面，但它的正確性應該是毫無疑問的。這個會議最后給人留下印象更多的是一直被渲染至今的愛因斯坦和玻爾之間的激烈討論，而量子力學幾個主要創立者似乎都隱身了，大有喧賓奪主之疑。老實說，我更相信這幾位主要創立者們對他們自己創立的新理論有更深刻的理解和認識。就在這次會議之后不久，年輕的狄拉克發表了他的相對論量子力學，開辟了量子力學、量子場論和基本粒子研究的新方向，引領了量子物理的發展。

然而6年后的1933年，諾貝爾獎委員會宣布將1932年物理學獎授予海森伯，1933年物理學獎授予薛定諤和狄拉克。這個結果完全改變了人們對量子力學創立這段歷史的認識，將海森伯推到矩陣力學的唯一創立者的地位，創造了一個不懂矩陣的人可以創立矩陣力學的神話，一直影響至今。它完全無視了玻恩和約當在矩陣力學創建中的關鍵作用。而在這一年，德國納粹上臺后，玻恩作為猶太人被迫“自愿”離職，離開了哥廷根大學和德國，有趣的是居然還收到了元首希特勒的簽名感謝函，他先后流亡到英國和印度，最后接受了英國愛丁堡大學的教職，重新安定下來。在那里，他為中國培養了兩位“兩彈元勛”——彭桓武和程開甲，其實他也是美國原子彈之父奧本海默的博士導師，氫彈之父愛德華?泰勒的導師，是真正的全世界“原子彈之父”之父。中國半導體物理泰斗黃昆，則將玻恩的講義整理出了一本固體物理經典教材。而作為他學生和助手的約當，當年積極參加了納粹，但是他還有良知，并沒有參加所謂“德國物理學”運動，也沒有抵制由愛因斯坦和玻恩等猶太物理學家發展的量子物理學，在二戰后繼續從政，成為了聯邦德國的保守黨議員。

第二次世界大戰后，經歷過戰爭痛苦的玻爾在總結量子力學發展這段歷史時，似乎意識到這個結果對玻恩不公平，于1950年和1952年連續兩次提名玻恩。此外，玻恩的前同事詹姆斯·弗蘭克(1925年的諾貝爾獎得主)和學生恩里科·費米(1938年的諾貝爾獎得主)也多次提名他。終于于1954年玻恩在72歲高齡時被授予了諾貝爾獎，公開肯定了他對量子力學的杰出貢獻，特別是幾率波統計詮釋。這個詮釋當時是玻爾為首的量子力學哥本哈根學派的核心內容，而玻恩本人并不屬于這個學派，如果不給玻恩應有的認可，這確實是有點說不過去。將不確定性引進量子力學和物理世界，無論從對易關系還是幾率波詮釋，玻恩都是第一人。至于約當的貢獻被完全無視了，沒有機會和玻恩共享殊榮。

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幾點思考與小結

在量子力學建立過程中，一個顯著特色是正確的物理數學方程持續推動發現新的物理和建立新的量子理論。黑體輻射的實驗數據對普朗克公式提供強力支持，導致發現了普朗克物理常數，開啟了量子物理的革命。在長達25年的探尋過程中，普朗克公式對光子概念形成、玻爾氫原子模型和量子統計的建立，起了決定性的作用。薛定諤方程和狄拉克方程同樣是先有方程，后有正確的解，然后才有正確的物理。薛定諤方程氫原子的解，為方程的正確性和合理性提供了保障。幾率波的統計詮釋使波函數和物理測量之間建立了聯系，為量子力學的最后建立提供了堅實的基礎。狄拉克方程的負能量解，起初同樣被認為是非物理的，但最后為正電子的確認提供了理論基礎，并且開創了粒子物理的研究方向。狹義相對論中，也是先有洛倫茲變換，然后才有光速不變原理和狹義相對論的時空觀。這個應該是革命性理論產生的一種科學范式。

玻爾原子模型和半經典量子理論在量子力學的建立過程中起了非常重要的作用，特別是玻爾將原子能級和光譜這兩個看似完全無關的物理量聯系在一起，這是革命性的。理論公式和實驗觀測結果的精度達到了空前的一致。軌道角動量量子化和玻爾—索末菲量子化條件為能量量子化提供了一個直接的圖像，在建立量子力學基本對易關系過程中起了重要作用，但這些理論都只是過渡性質的。量子力學建立后，舊的量子理論也就完成了自己的使命，漸漸地退出歷史舞臺，被新的量子論取代。

量子力學的發展過程中充滿了哲學思辨，特別是當問題并不清晰時。原子論的發展有近千年的歷史，到20世紀初基本達到了一個共識，物質由原子組成，而原子由原子核和電子組成。普朗克公式和普朗克常數的出現，讓哲學的思辨，轉化成定量的研究，對普朗克公式的理解，直接導致了光的粒子特性的發現。這是正確的數學公式展現出的強大力量。德布羅意的關系式，動量與波矢的關系，又將光的波動性質聯系起來。德布羅意將這個關系推廣到一般的粒子，是量子力學發展的一個里程碑，直到導致薛定諤方程的建立。當方程建立后，科學哲學的思辨最終有了可靠的依托，最終都可以轉換成能被物理實驗檢測的思想，如果不能的話，就不是科學了。

量子力學經過了一百年的發展，大浪淘沙，這里介紹的幾個方程都是我們教科書中大家熟悉的面孔，經受了時間的考驗，可以概括為量子力學的主要支柱，用以理解至今所發現的量子物理現象。

每個方程都是一座豐碑，都和一個偉大的名字聯系在一起。

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