美的幾何學：從簡單元素開始

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

幾何學的固有規則及其描述的形式一直激勵著藝術創作，并為許多藝術作品的完美創作提供了準則。讓我們思考一下繪畫、建筑和雕塑中使用的一些幾何圖形的美感。自然形態幾乎總是給建筑帶來靈感，通過形狀、功能、材料和技術之間的深入對話來獲得美感。一切都趨向于實現一個共同的目標；由于這種知識的共通性，在不同的設計選擇中，形狀會隨著所處的歷史時期而有不同的發展。不同領域之間的對話是找到最佳選擇的基礎，以實現在建工程的各種美感。這項工作的目的是了解如何從一個簡單的幾何圖形（如平面多邊形）出發，通過合成過程和簡單的變換，獲得非常復雜的三維表面。這些表面通常被描述為具有非凡美感的結構，在許多自然生長形態的配置中、在一些以完美和未來主義形狀為特征的令人贊嘆的建筑結構中，以及最后在一些當代精致美感雕塑的描述中都可以辨認出來，在這些雕塑中，光線被添加到形狀中，以標示其美感。

1 三角形

非常簡單的幾何圖形也能創造出具有相當美學價值的作品，這種意識令人難以置信，同時也非常奇妙。這就是我們講故事的目的。我們將始終從一個簡單的圖形——多邊形——出發，展示如何通過幾何變換獲得更復雜的圖形，并通過合成過程描述自然和人工生長之美：這些現象在藝術和建筑的表現形式中都是值得欣賞的。我們可以說，我們反復出現的主題如下：一開始總是一個多邊形！

讓我們從邊數最少的多邊形開始：三角形。

這種幾何圖形在我們的日常生活中隨處可見；想想路標，三角形在這種情況下表示危險，必須注意。在這種情況下，我們不想討論象征或宗教方面的問題，也不想討論各種哲學和心理含義；我們將只討論幾何圖形，它是屬性和原理的來源，也是高度穩定構型的代表。在三維空間中，由三角形組成、面數最少的實體是四面體；通過這些形式構建的三維表面是四螺旋體，它是一種自支撐結構，理論上可以無限延伸。

二十世紀五十年代，美國二十世紀最偉大的文化倡導者之一巴克明斯特·富勒（R. Buckminster Fuller，1895-1983 年，洛杉磯）首次對四螺旋進行了研究。他是一位建筑師、工程師、哲學家和大自然學者，他的項目靈感都來自大自然，其主要目標是造福人類，改善人類的生存環境。讓我們回到三角形，記住它雖然是最簡單的形狀，卻有著非常重要的結構，在自然界中，三角形是最穩定的形狀。還要記住，通過三角形，我們還可以在平面和空間上描述許多其他形狀。柏拉圖在《蒂邁歐篇》中以三角形為起點解釋了自然元素，為上述觀點提供了佐證： “......平直的表面是由三角形構成的。所有三角形都來自兩個三角形，每個三角形都有一個直角和兩個銳角。那么，在這些三角形的每一邊中，有些三角形的直角部分相等，由相等的邊分隔；而有些三角形的直角部分不相等，由不相等的邊分隔"。

我們知道，任何三角形都可以從它的一條高分解成兩個直角三角形，而這兩個直角三角形又可以用同樣的方法分解成其他三角形。

根據柏拉圖的觀點，這些形體自行組合，在空間中形成曲面，這些曲面隨后被命名為柏拉圖實體（圖 1）。

圖1： “De quinque corporibus regolaribus ”柏拉圖實體復原圖，皮埃爾路易吉·基安達（Pierluigi Ghianda），1994 年。吉安達家族檔案

柏拉圖將這些多面體與自然元素聯系在一起：土、空氣、水、火，此外，哲學家還通過這些實體描述了宇宙的結構。多面體在藝術作品中占據了壓倒性的地位；除了達芬奇的著名柏拉圖實體作品、雅各布·德·巴爾巴里的盧卡·帕喬利肖像之外，我們還可以考慮阿爾伯特-丟勒的Melancolie、薩爾瓦多-達利的作品以及阿爾貝托-賈科梅蒂的立方體。

三角形是各種藝術表現形式中最廣泛的形式之一。

有一些作品，甚至是近期的作品，都是以三角形的構成和變換為結構的；一個值得記住的歷史性例子是我們剛剛提到的學者巴克明斯特·富勒（R. Buckminster Fuller）的多面穹頂。富勒獲得了美國的穹頂專利，盡管第一個大地穹頂是在第一次世界大戰結束后由卡爾·蔡司光學工業公司的總工程師沃爾特·鮑爾斯費爾德設計的，并于1922 年建成，用于容納一個天文館。1967年，富勒在加拿大蒙特利爾世博會上展示了他的多面穹頂；這是一種堅固、輕便、易于組裝和拆卸的結構（圖 2）。

圖2：蒙特利爾的生物圈(加拿大)，1967年

其構造原理是將正二十面體（有二十個三角形面的多面體，在柏拉圖實體中為等邊三角形）投影到球面上。多面體的每個面（即三角形）都被分割成更小的三角形面，例如分割成四個或九個面等，然后投影到球面上。面被分割的次數稱為大地圓頂的“弧系數”或“頻率”。蒙特利爾穹頂的頻率為16！二十面體被分割成的所有三角形都接近球面。顯然，頻率越高，與球面的近似程度就越高。此外，三角形的內在剛度也保證了結構的超強穩定性。大地圓頂是上世紀中葉提出的最重要的建筑解決方案之一；它以最小的表面容納最大的體積。

應該記得，1967 年，富勒為斯波萊托市建造了一個大地圓頂，他稱之為 Spoletosfera（如圖）（圖 3）。

圖3：意大利斯波萊托的大地圓頂，1967 年

受富勒建筑原則的啟發，近代以來，許多建筑都應用了同樣的原則，特別是在屋頂方面；其中兩個例子是Fuksas在米蘭博覽會上設計的“帆船”和諾曼·福斯特在倫敦大英博物館和圖書館設計的“大法院”（圖 4）。

圖4：馬西米利亞諾·福克薩斯（Massimiliano Fuksas）在米蘭博覽會上的作品“航行”和諾曼-福斯特（Norman Foster）在倫敦大英博物館和圖書館的作品“大宮廷”。L. Caruzzo 檔案館

2 一個特殊的多邊形：黃金矩形

兩個全等的直角三角形有一個公共斜邊，可以在平面上描述一個矩形。我們將討論黃金矩形。

高為底的黃金分割的矩形稱為黃金矩形。或者，如果我們愿意，大底和小底之間的比值就是黃金數，它用希臘字母 ? 表示，其值約為 1.618......，具有無限而非周期性的數位。

黃金分割是黃金數的倒數（黃金數與黃金分割的比值等于 1）；其值約為0.618......但是，眾所周知，黃金分割和黃金數都只能通過無理數以完美形式表示。

我們需要記住，我們也發現這個概念在歐幾里得的《幾何原本》(XI命題，第二冊)中以如下形式描述:“根據極端和中間比例劃分給定的直線末端”。

我們在第六冊問題X命題XXX中也以另一種形式認識到:“……矩形面積等于建立在最大部分上的正方形的面積”。

黃金矩形之所以重要，是因為除其他無限元素外，它始終是描述美的元素。事實上，許多藝術家過去相信，現在仍然相信，在所有矩形中，最“賞心悅目”的是底和高都符合黃金比例的矩形。我們不再贅述黃金分割和斐波那契數字之間的已知聯系。但是，在繼續我們的故事之前，我們應該記住，許多藝術作品（建筑、繪畫和雕塑）都是在尊重黃金分割法則的基礎上創作出來的，這是真正的美的典范[3]。

在眾多例子中，讓我們考慮一下雅典帕臺農神廟的研究、皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡對《鞭打基督》的研究，以及蒙特城堡的建筑研究等（圖 5）。

圖5：蒙特堡(安德里亞)的門戶。

不要忘記，勒·柯布西耶本人（本名查爾斯·愛德華·讓納雷特·格里斯，1887-1965年）就是受黃金分割和斐波那契數字的啟發，設計了他的Modulor，目的是提供“一系列和諧的尺寸，以滿足人的維度，普遍適用于建筑和機械事物”。勒·柯布西耶在他的作品《Le Modulor》中寫道“數學是人類為了解宇宙而想象的高超建筑。絕對與無限、可把握與不可捉摸在這里交匯。在它們面前聳立著高高的圍墻，在圍墻前，你可以毫無結果地走過又走過；有時會遇到一扇門；你打開它，進入它，你就來到了另一個地方，神靈所在的地方，偉大系統的鑰匙所在的地方。這些門就是奇跡之門。穿過其中一扇門，工作的不再是人：而是同一個人在任何地方接觸到的宇宙。在他面前，無限組合的巨大地毯被展開并照亮"。黃金矩形是可以迭代的，也就是說，你可以從第一個矩形開始，構建出無數個永遠是黃金色的矩形。要迭代黃金矩形，只需將較小的邊投影到較大的邊上，從而將矩形分成兩部分：一個正方形和一個矩形，而后者仍然是黃金矩形。通過多次重復構建，然后進行迭代，就可以得到“無限”的黃金矩形。(圖6)

圖6：黃金矩形的迭代

3從黃金螺旋到螺旋面

讓我們參考一個黃金矩形和它的迭代當我們考慮正方形和新的黃金矩形分離和連接它們的點時，我們可以描述一條曲線，稱為黃金螺線，它是一種特殊的對數螺線。這種螺旋是許多生物形態生長的基礎，包括動物(例如鸚鵡螺)和植物(如向日葵)(圖7) [2]。

圖7：黃金矩形中的黃金螺旋

如果我們現在想象將螺旋繞軸旋轉和平移，就會得到一個錐形螺旋體（這是 Turritella 和許多其他貝殼的形狀）（圖 8）[6]。

圖8：錐形螺旋體是 Turritella 和許多其他貝殼的形狀

螺旋形是建筑結構中最古老、最迷人的形式之一，尤其是在樓梯、塔樓以及用作裝飾和點綴的扭曲柱子中。一些被稱為“螺旋”樓梯的例子可見于巴塞羅那圣家堂的塔樓，以及羅馬巴貝里尼宮內貝爾尼尼和博羅米尼的兩座樓梯。在烏爾比諾，連接 Mercatale 廣場和 Sanzio 劇院的螺旋樓梯；錫耶納建筑師弗朗切斯科-迪喬治-馬爾蒂尼的作品，以及最后在 Certosa di Padula（南澳大利亞）的螺旋樓梯，該樓梯采用自支撐白色大理石，可通往圖書館（圖 9）。

圖9：Certosa di Padula(SA)中的自立式白色大理石螺旋樓梯。l .庫爾希奧檔案

關于塔，伊拉克的薩馬拉尖塔（公元 851 年）、哈里發穆塔瓦基爾大清真寺的螺旋尖塔馬爾維亞（Malwiyya）等都是例子，經常被誤認為是傳說中的巴別塔。事實上，許多關于巴別塔的藝術表現形式都受到了這種形式的啟發。我們要討論的最后一個例子是弗朗切斯科-博羅米尼（Francesco Borromini）設計的羅馬圣伊沃-阿拉-薩皮恩扎（Sant'Ivo alla Sapienza）教堂的燈籠。博羅米尼對自己的作品充滿信心，他回答校長說，他無意逃避這一義務，而是想增加這一義務，只要按照他的要求完成委托工程，他的繼承人也將承擔這一義務。今天，我們仍然可以欣賞到輝煌的 Lanternino。

如今，塔樓的演變已經變成了螺旋形狀的摩天大樓；扎哈·哈迪德（Zaha Hadid）在米蘭設計的斯托爾托（Storto）實際上就是一個螺旋體，但其他建筑，如多倫多的瑪麗蓮-夢露塔和阿布扎比的 DNA 塔也是螺旋體，后者的靈感來自 DNA 的螺旋形狀（圖 10）[1]。

圖10：弗朗切斯科·博羅米尼(1599–1667)圣伊沃阿拉薩皮恩扎(Lanternino)——羅馬。扎哈·哈迪德“Lo Storto”，米蘭?，旣惿彙袈洞髲B，密西沙加—多倫多—2012—MAD有限公司和Burka建筑師事務所。l .卡魯佐檔案館

說到螺旋和螺旋線，最后我想回顧一下幾年前發生的一件有趣的教學事件，當時蒙扎 Maxi-Experimental 藝術學院（即今天的 “南尼-瓦倫蒂尼 ”藝術高中）的班級和教師參與了這一事件。

在這一交流過程中，對形狀進行了分析，通過將不同大小的四邊形組合在一起（一個疊在另一個上面）來描述螺旋形，從而通過也是一個疊在另一個上面的假金字塔形樹干來描述螺旋形。接下來是對不同類型外殼形狀的描述，最后是在實驗室中制作三維模型。這里有一些段落。這一次，我們從一個不規則的四邊形開始，在小底邊上繪制另一個以第一個四邊形的小邊為大邊的四邊形，重復操作幾次，我們注意到結構有點彎曲(圖11)。

圖11：從四邊形開始的螺旋表示法

通過同樣的結構和其他四邊形，我們注意到，圖形趨向于卷入自身，假定了一個真正的對數螺旋過程，即使很明顯，這個過程的離散性只允許用多邊形來近似曲線。

我們可以在三維空間中重復剛才在平面圖中看到的結構，這次從一個假金字塔主干開始，然后在小基座上添加另一個假金字塔主干，將其作為大基座（圖 12）。

圖12：通過組裝金字塔的主干來表示外殼

通過不斷重復這個過程，可以得到一個自我滾動的三維結構，在這個結構中可以認識到殼體形狀的生成原理。

羅伯托·迪·馬蒂諾（Roberto Di Martino）使用 Cabri II 軟件在一個教育項目中完成了所有的構造，該項目顯然比上述例子要廣泛得多，可以在參考文獻[5]第 5 點中的文章中閱讀到。

最后，Cinzia Tresoldi根據描述在實驗室制作了一些殼體的三維模型。

在照片中，我們提出了兩個用金屬和樹脂玻璃板建造的外殼模型(圖13)。

圖13：在車間制作的外殼模型

總是從多邊形出發，得出“美”。

在故事的最后，我們要介紹一種不同類型的藝術品：藝術家用任何多邊形創作的奇妙雕塑。

保羅·馬祖費里（Paolo Mazzuferi）是一位當代藝術家，他憑借精湛的幾何知識開始創作；事實上，他從正多邊形開始，通過幾何變換，在正多邊形的基礎上建立螺旋體，螺旋體沿著整個雕塑展開，由于顯而易見的原因，雕塑結束了，但它可以繼續無限生成，同時仍然保持形狀。

我們應該通過一些簡單的段落來理解上述內容，例如，從一個簡單的正方形是如何生成螺旋形的[4]。

如果我們將正方形紙片堆疊起來，就會得到一個平行六面體；然后，如果我們將紙片圍繞中心軸旋轉，作為直線段的側邊就會變成環繞形狀的螺旋（圖 14）。

圖14：用方形薄片堆疊而成的平行六面體。平行六面體旋轉后得到的螺旋體。

在平行六面體和這種新形式之間，存在著許多超乎想象的相似之處。兩種形式的生成正方形保持等價和全等，但最重要的是，平行四邊形的側邊可以描述為半徑等于零的螺旋。因此，產生這兩個實體的運動是平移和旋轉，但如果在平行六面體中用半徑為 r 的螺旋線代替側邊，我們將得到螺旋線本身不再具有包圍性的形式。因此，產生這些實體的運動將是平移和擺動，其形式范圍非常廣泛，這也是由于它們可以擴展到所有棱柱形式；我們強調，平移和旋轉平移是作為特例配置的。藝術家將垂直于棱柱軸線的部分定義為 “prisma elicoforo”（帶來螺旋形的棱柱），這些部分被轉化為四邊形，失去了全等，但保持了等價性（圖 15）。

圖15：帶螺旋邊的棱鏡

多邊形再次發揮了核心作用，正如我們已經說過的那樣，多邊形保留了等價性。美國數學家愛德華-卡斯納（Edward Kasner，馬丁·加德納的叔叔）在 20 世紀初首次研究了由這些操作產生的新多邊形，并將其稱為 “中點多邊形”（“The Group Generated by Central Symmetries, with Application to Polygons”，《美國數學月刊》，1903 年 3 月）。

我們所描述的就是我們在以下照片中展示的雕塑背后的原理。在下面的例子中，所產生的雕塑具有越來越復雜的纏繞，其中一個雕塑的多邊形產生形式非常明顯。

作者以這些形式為基礎，使其成為一種藝術語言的元素，抓住不斷創新的幾何程序所提供的機會，并將其轉化為有關自然形式起源的敘述。盡管這些作品的結構異常復雜，但充斥在這些雕塑中的光線成為了觀賞者的絕對主角，給人一種驚人的統一感和簡潔感（圖 16）。

圖16：保羅·馬祖費里的雕塑。T. Pelucchi 檔案館

參考文獻

1. Alati M, Curcio L, Di Martino R, Gerosa L, Tresoldi C (2005) From natural forms to models. Nexus Netw J 7(1)

2. Cook TA (1979) The curves of life. Dover, New York

3. D’Arcy Wentworth Thompson (1992) Crescita e forma, Bollati Boringhieri

4. Gamwell L (2016) Mathematics and art. Princeton University Press, Princeton

5. Glaeser G, Polthier K (2009) Bilder Der Mathematik. Springer, Spektrum

6. Mazzuferi P (2012) Forme elicoidali, Centro Internazionale di studi Urbino e la prospettiva

7 Liliana Curcio, The Geometry of Beauty

青山不改，綠水長流，在下告退。

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