特魯謝瓷磚：從組合數(shù)學(xué)的圖形處理到密鋪的法則

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1704 年，法國(guó)神父塞巴斯蒂安·特魯謝發(fā)表了一篇題為 “關(guān)于組合的備忘錄”（Mémoire sur les Combinaisons）的短文，研究了一組正方形瓷磚的可行圖案，每塊瓷磚都被對(duì)角分割成兩個(gè)彩色三角形（特魯謝，1704 年；萊曼，2009 年）（圖 1）。他研究了 “組合數(shù)學(xué)的圖形處理”，這在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界基本上是革命性的（Smith 和 Boucher，1987 年）。1987 年，C.S. Smith 發(fā)表了《塞巴斯蒂安·特魯謝的密鋪模式和結(jié)構(gòu)層次拓?fù)鋵W(xué)》一文，分析了特魯謝的密鋪模式，并提出了現(xiàn)在公認(rèn)的特魯謝原始密鋪模式的變體（Smith 和 Boucher，1987 年）。在這一變體中，史密斯在對(duì)角線(xiàn)上使用了弧線(xiàn)，取代了特魯謝原始拼塊中的兩個(gè)三角形。每個(gè)四分之一圓弧的中點(diǎn)都將正方形拼塊的邊緣一分為二，這樣當(dāng)拼塊相鄰排列時(shí)，圓弧就會(huì)相遇，形成一組相連的圓弧（圖 2）。拼塊的旋轉(zhuǎn)特性允許多種拼塊排列方式。本研究利用史密斯對(duì)特魯謝拼塊的變體（以下稱(chēng)為“特魯謝拼塊”）作為特魯謝拼塊法則的基礎(chǔ)。

圖1：塞巴斯蒂安·特魯謝的原始拼塊：a特魯謝的雙色拼塊，b兩塊拼塊的可能組合，c 拼塊圖案示例。拼塊重繪自（Smith 和 Boucher，1987 年）

圖2：C.S. Smith 的 “特魯謝拼塊”：（a）特魯謝拼塊，（b）兩塊拼塊的可能組合，（c）拼塊圖案示例。拼塊重繪自（Smith 和 Boucher，1987 年）

組合數(shù)學(xué)的圖形處理和形狀法則

特魯謝之所以希望探索組合問(wèn)題的視覺(jué)方面，是因?yàn)樗^察了一堆有對(duì)角線(xiàn)分割的瓷磚，并想象如何用一塊瓷磚實(shí)現(xiàn)各種視覺(jué)上悅目的圖案。史密斯指出，雖然特魯謝在他的論文中計(jì)算的所有關(guān)系都可以用簡(jiǎn)單的組合數(shù)學(xué)來(lái)表示，但視覺(jué)展示對(duì)許多人來(lái)說(shuō)更有意義，它捕捉到了藝術(shù)家使用的一些規(guī)則，“無(wú)論他們是否意識(shí)到這些規(guī)則”（史密斯和鮑徹，1987 年）。特魯謝的興趣在于使用可視化表示來(lái)計(jì)算可能的瓷磚排列，然后將這些空間關(guān)系作為生成瓷磚圖案系列的基礎(chǔ)，這與形狀法則論述的雄心壯志不謀而合。本研究利用這種共同的興趣，研究形狀法則如何使我們對(duì)特魯切瓷磚及其在設(shè)計(jì)中的可能應(yīng)用的理解正規(guī)化并加以擴(kuò)展。在史密斯對(duì)特魯謝拼塊的拓?fù)鋵W(xué)研究（史密斯和鮑徹，1987年）的基礎(chǔ)上，本研究使用形狀規(guī)則來(lái)設(shè)計(jì)特魯謝拼塊的其他變體。

形狀規(guī)則是形狀法則的基本組成部分，而形狀法則是對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行生成描述的最強(qiáng)大的形式主義之一（Stiny 和 Gips 1972; Stiny 1980a, 2006; Knight 1994）。形狀規(guī)則的一般書(shū)寫(xiě)形式為 A→B，其中形狀A(yù)（有時(shí)包含在規(guī)則應(yīng)用的設(shè)計(jì)環(huán)境中）用形狀B代替。形狀法則是一組連續(xù)應(yīng)用的形狀規(guī)則，用于生成設(shè)計(jì)，形狀規(guī)則中描述的視覺(jué)計(jì)算直接對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)、平面和體積進(jìn)行操作。斯坦尼（1977: 89-98）的冰射線(xiàn)法則展示了如何將形狀法則應(yīng)用于研究裝飾格子設(shè)計(jì)的參數(shù)結(jié)構(gòu)，以及具有可觀察到的周期性或規(guī)則性結(jié)構(gòu)的更簡(jiǎn)單圖案，這與特魯謝論文中的研究不謀而合。斯坦尼的簡(jiǎn)單格子圖案和特魯謝的組合拼貼系統(tǒng)的關(guān)鍵設(shè)計(jì)操作都是單個(gè)圖案和單個(gè)拼塊的方向，這為將特魯謝的邏輯轉(zhuǎn)化為基于規(guī)則的規(guī)范提供了一個(gè)起點(diǎn)。本研究采用形狀法則生成特魯謝拼塊的變體，以描述二維和三維生成式拼塊系統(tǒng)，從而完成了這項(xiàng)工作。請(qǐng)注意，在這種法則中，形狀并不融合，而是被定義為“集合法則”，例如 Stiny 為幼兒園積木物理游戲定義的法則（Stiny 1980b）。

特魯謝拼塊法則

特魯謝拼塊法則由三套規(guī)則組成：（1）二維拼塊規(guī)則；（2）二維圖案規(guī)則；（3）三維拼塊規(guī)則。根據(jù)設(shè)計(jì)意圖，這些規(guī)則集可以單獨(dú)使用，也可以按順序連續(xù)使用。

二維拼塊規(guī)則

第一套形狀規(guī)則用于生成根植于特魯謝拼塊邏輯的二維拼塊。雖然史密斯最初的“特魯謝拼貼法”完全基于正方形，但其中的通用規(guī)則擴(kuò)展了“特魯謝拼貼法”的拼貼邏輯，納入了其他可以拼貼平面的正多邊形和不規(guī)則多邊形，并引入了更多拼貼變化。法則以初始形狀規(guī)則開(kāi)始，該規(guī)則用于在笛卡爾平面上的多邊形上放置標(biāo)簽。然后，由和運(yùn)算和一般變換組成的形狀規(guī)則被遞歸應(yīng)用。生成的每塊瓷磚都是一個(gè)封閉的形狀，對(duì)角線(xiàn)上有弧線(xiàn)；弧線(xiàn)的程度由參數(shù)變量控制（中心點(diǎn)：（x0，y0）；半徑：r0）。色域被用作權(quán)重（Knight，1989 年；Stiny，1992 年），以區(qū)分拼塊的特定區(qū)域，在此階段使用這一慣例來(lái)生成一對(duì)具有互補(bǔ)色域的反向拼塊。這些權(quán)重隨后將用于為法則中的三維拼塊規(guī)則參數(shù)提供信息。圖3展示了使用規(guī)則生成二維正方形特魯謝拼塊的推導(dǎo)示例。

圖3：使用二維拼塊規(guī)則產(chǎn)生正方形拼塊的樣本推導(dǎo)

二維圖案規(guī)則

二維圖案規(guī)則用于創(chuàng)建基本的貼磚配置，然后在基本圖案中放置特定的瓷磚圖案。根據(jù)特魯謝拼塊的性質(zhì)，形狀規(guī)則在生成二維拼塊配置時(shí)利用了旋轉(zhuǎn)和折射。這些規(guī)則同樣利用權(quán)重和標(biāo)簽來(lái)指定方向，并區(qū)分使用前一組規(guī)則生成的兩對(duì)拼塊。二維圖案規(guī)則可以由 x → x + t(x) 和 x → x + t (x‘) 兩種模式定義，在這兩種模式中，一個(gè)拼塊的平移版本或一個(gè)拼塊的平移和倒置版本會(huì)被復(fù)制到該拼塊的鄰近位置。圖4顯示了六種二維圖案，它們是使用相同的二維密鋪配置（如左圖所示）生成的，其中不同的正方形特魯謝拼塊是使用上一組規(guī)則中的二維拼塊規(guī)則生成的。

圖4：采用不同二維特魯謝拼塊的二維拼塊配置示例

三維拼塊規(guī)則

三維拼塊規(guī)則以各種方式將二維拼塊轉(zhuǎn)換為三維拼塊。參數(shù)形狀規(guī)則用于控制單個(gè)拼塊不同區(qū)域的深度，這些區(qū)域之前已指定了顏色權(quán)重。生成的三維拼塊可以以不同的圖案和深度組合在一起，生成三維圖案。圖5顯示了基于圖4所示二維拼塊配置的六種三維圖案。圖中的拼塊是利用規(guī)則生成的，這些規(guī)則通過(guò)擠壓將二維拼塊轉(zhuǎn)化為三維拼塊。

圖5：使用不同三維特魯謝拼塊的三維圖案樣本

結(jié)論

本文介紹的特魯謝拼塊法則是一個(gè)用于設(shè)計(jì)二維和三維拼塊和圖案的生成系統(tǒng)。在他的“組合學(xué)圖形處理”中，特魯謝定義了組合二維拼塊生成各種抽象圖案的視覺(jué)關(guān)系（史密斯和鮑徹，1987 年）。本文概述的特魯謝拼塊法則以特魯謝的視覺(jué)符號(hào)為基礎(chǔ)，同時(shí)定義了二維圖案規(guī)則，并將其擴(kuò)展到拼塊幾何、形狀和三維方面的更多變化。圖6舉例說(shuō)明了一些二維和三維拼塊，以及使用該法則可以生成的圖案。請(qǐng)注意，推導(dǎo)并不局限于這些示例。該法則為生成二維和三維拼塊和圖案提供了一個(gè)開(kāi)放式框架。

圖6：設(shè)計(jì)變化：a 二維拼塊樣本，b 二維圖案樣本，c 三維拼塊樣本

特魯謝拼塊法則適用于各種設(shè)計(jì)場(chǎng)景。該法則可用于設(shè)計(jì)和制造地板磚和墻板，例如Worre Foged和Scafdi（2022：101-110）設(shè)計(jì)的隔音板，只需一小部分獨(dú)特的組件就能生成視覺(jué)上有趣且可定制的圖案。另一方面，特魯謝拼塊法則的使用并不局限于設(shè)計(jì)建筑拼塊和面板。正如萊昂內(nèi)爾·馬奇（Lionel March，2015：553-578）在《1960 年以來(lái)的數(shù)學(xué)與建筑》一書(shū)中所論述的，這類(lèi)形式主義也可用于城市規(guī)劃和空間設(shè)計(jì)。例如，最近由 Matsys 設(shè)計(jì)的概念瓷磚屋項(xiàng)目就在生成平面布局時(shí)使用了特魯謝拼塊邏輯。

會(huì)議期間，我們將介紹特魯謝拼塊邏輯的背景，詳細(xì)介紹特魯謝拼塊法則，以及我們?nèi)绾螌⑻佤斨x的“組合”視覺(jué)符號(hào)轉(zhuǎn)化為形狀規(guī)則，舉例說(shuō)明潛在的使用案例，并討論其局限性。

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