局部對(duì)稱的多層伊斯蘭幾何設(shè)計(jì)

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

替代拼塊的特點(diǎn)是遞歸生成過(guò)程，有助于多層拼塊設(shè)計(jì)。受傳統(tǒng)伊斯蘭幾何多層拼塊設(shè)計(jì)的啟發(fā)，本文提出了基于增強(qiáng)替代規(guī)則的多層設(shè)計(jì)技術(shù)。伊斯蘭幾何圖案作為裝飾被結(jié)合在多層替換中，以建立在基層替換拼塊的遞歸結(jié)構(gòu)上。使用這種技術(shù)的變體突出了兩個(gè)非周期性替代拼塊中的局部對(duì)稱性。

圖1：裝飾有zellij圖案的非周期性Ammann-Beenker拼塊。較大的玫瑰花結(jié)以這種替代拼塊的遞歸層次中不同層次的局部對(duì)稱性為中心。

具有不同程度自相似性的多級(jí)設(shè)計(jì)可見于許多傳統(tǒng)伊斯蘭幾何拼塊的例子【4】【16】。我將這一設(shè)計(jì)理念應(yīng)用于兩種著名的替代拼塊的多層結(jié)構(gòu)：阿曼·本克爾拼塊和二進(jìn)制拼塊。用伊斯蘭幾何圖案裝飾替代拼塊多年來(lái)一直是一個(gè)豐富的探索領(lǐng)域【1】【2】【5】【9】【11】【12】【13】【14】，作品太多了，無(wú)法在此完全引用。一種常用的技術(shù)是用伊斯蘭幾何圖案裝飾給定替代拼塊的菱形原型拼塊集。對(duì)稱的伊斯蘭幾何圖案可以整合到菱形頂點(diǎn)處的拼塊中，如【9】所示，并在許多示例中進(jìn)行了演示【1】【5】【9】【11】【13】【14】。在本文中，重點(diǎn)將是在遞歸替換層次中將裝飾性替換過(guò)程擴(kuò)展到更高的級(jí)別。

在圖1中，多級(jí)設(shè)計(jì)是通過(guò)裝飾Ammann-Beenker拼塊實(shí)現(xiàn)的，這是一種非周期性替代拼塊，其特點(diǎn)是無(wú)處不在的八邊形對(duì)稱拼塊片[8]，常見的摩洛哥zellij圖案模塊化地應(yīng)用于替代層級(jí)中尺寸不斷增加的局部對(duì)稱拼塊片[10]。一片拼塊被定義為一個(gè)拼塊中有限的一組拼塊，其并集是一個(gè)拓?fù)鋱A盤[8]。Zellij是一種拼塊馬賽克，由傳統(tǒng)的伊斯蘭幾何手工切割的小拼塊制成。摩洛哥zellij設(shè)計(jì)的全面展示在[5]中給出，包括大型多瓣玫瑰花結(jié)的建造，它與[3]一起可以將這里顯示的設(shè)計(jì)擴(kuò)展到更高的水平。

替代拼塊有一個(gè)膨脹—細(xì)分規(guī)則，用表示，對(duì)有限的一組原始拼塊類型進(jìn)行操作。替換規(guī)則用定義的原型拼塊面板替換每個(gè)原型拼塊。為了視覺(jué)呈現(xiàn)的清晰，應(yīng)當(dāng)理解，充氣步驟并不總是在圖像中進(jìn)行。有或沒(méi)有通貨膨脹的替代規(guī)則將由表示。Ammann-Beenker拼塊[8]的替換規(guī)則如圖2所示，其中菱形(橙色)和半方形(藍(lán)色)原型拼塊的右側(cè)有兩個(gè)細(xì)分步驟，左側(cè)有一個(gè)裝飾性替換。術(shù)語(yǔ)超級(jí)拼塊指的是通過(guò)重復(fù)應(yīng)用替換規(guī)則從集合中的原拼塊中得到的任何拼塊片。原型拼塊是第0層，并且替換規(guī)則的每個(gè)操作將超級(jí)拼塊的層提高一層。任何級(jí)別的超級(jí)拼塊都將繼續(xù)用它們所源自的原拼塊來(lái)標(biāo)識(shí)。在圖2中，Ammann-Beenker原型拼塊的右邊分別是1級(jí)和2級(jí)超級(jí)拼塊。每個(gè)原型的左邊是一個(gè)裝飾步驟的結(jié)果，K0.

圖2：Ammann-Beenker替換規(guī)則和原始拼塊裝飾。

如果替換規(guī)則是自相似的，即如果每個(gè)超級(jí)拼塊都與原拼塊相似，則稱其為完美規(guī)則。否則，如果不產(chǎn)生自相似的超級(jí)拼塊，則替換是不完美的。更多的技術(shù)定義和闡述出現(xiàn)在【6】中。在圖2中，半方形原拼塊的使用確保了阿曼·本克爾拼塊的替換規(guī)則是完美的。相比之下，在本文的第二部分中，我對(duì)二進(jìn)制拼塊使用了不完全菱形替換規(guī)則。在下面的兩個(gè)例子中，自相似超級(jí)拼塊次構(gòu)造的存在與否對(duì)多層設(shè)計(jì)方法的選擇起著重要作用。一些替換拼塊（包括這里的例子）共享的另一個(gè)有用的屬性是局部同構(gòu)。該屬性的另一個(gè)術(shù)語(yǔ)是重復(fù)。這一性質(zhì)表明，拼塊的任何有限部分都可以在拼塊中某個(gè)有限半徑內(nèi)的任何地方找到【15】。實(shí)際上，對(duì)于設(shè)計(jì)而言，當(dāng)拼塊具有這種特性時(shí)，這意味著可以從替換過(guò)程的任何地方開始，并在替換規(guī)則的有限次迭代后到達(dá)任何期望的有限部分。特別是，它足以生成任何一個(gè)足夠高的級(jí)別來(lái)覆蓋感興趣的區(qū)域。

在相同對(duì)稱性不能具有全局范圍的非周期性替換拼塊中，可能存在對(duì)稱的拼塊片。在【14】中討論了與彭羅斯拼塊相關(guān)的局部對(duì)稱性。局部點(diǎn)對(duì)稱在這里被定義為平面中的點(diǎn)對(duì)稱，（循環(huán)的或二面體的），由非周期2D置換拼塊中的一片拼塊（必然是有限的）遵守。此外，我將把這種對(duì)稱性描述為幾何對(duì)稱性，如果拼塊片僅在拼塊上的標(biāo)記被忽略時(shí)才遵循這種對(duì)稱性，例如在阿曼·本克爾拼塊的情況下，其局部d8對(duì)稱性適用于原拼塊形狀的局部排列（圖3（a））。如果局部點(diǎn)對(duì)稱包含完整的 ? 1級(jí)超級(jí)拼塊，并且不包含完整的或更高級(jí)的超級(jí)拼塊，則稱之為級(jí)局部點(diǎn)對(duì)稱。在局部對(duì)稱性已經(jīng)確定并且含義明確的情況下，我將放寬術(shù)語(yǔ)并將其稱為“重”，其中確定了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的程度，無(wú)論是循環(huán)還是二面角。

Ammann-Beenker拼塊：局部8重對(duì)稱的Zellij裝飾

Ammann-Beenker拼塊內(nèi)的局部對(duì)稱性始于圖3（a）中的局部幾何8重對(duì)稱拼塊。如上所述，阿曼·本克爾原型拼塊上的標(biāo)記破壞了對(duì)稱性，但拼塊形狀的排列具有d8對(duì)稱性。Ammann-Beenker拼塊的遞歸結(jié)構(gòu)意味著圖3（a）的局部對(duì)稱拼塊可以由拼塊中每一層的超面組成。圖3（b）和3（c）顯示了接下來(lái)的兩層，分別由第一層和第二層超級(jí)拼塊組成，用半透明的白色覆蓋物直觀顯示。從圖3（d）中的第二層超級(jí)拼塊開始，可以看到關(guān)于超級(jí)拼塊的八重對(duì)稱補(bǔ)片的可預(yù)測(cè)外觀。這些2級(jí)超級(jí)拼塊被著色以顯示哪些原拼塊參與了局部1級(jí)8重對(duì)稱。圖3（a）的1級(jí)8倍中不涉及白色原型拼塊。應(yīng)該注意的是，有了這些標(biāo)記，阿曼·本克爾原型拼塊組合由菱形和半方形以及它們的鏡像組成。在超級(jí)拼塊也是如此。從2級(jí)超級(jí)拼塊每個(gè)頂點(diǎn)附近的原型拼塊排列可以看出，這些頂點(diǎn)中的每一個(gè)都將位于某種排列的中心，這種排列在幾何上與圖3（a）的1級(jí)局部8重對(duì)稱相同。頂點(diǎn)星是給定拼塊的原型拼塊標(biāo)記所允許的在中心頂點(diǎn)相遇的拼塊排列。第二層超級(jí)拼塊的頂點(diǎn)星顯示了第二層超級(jí)拼塊頂點(diǎn)交匯處的第一層8重的生成過(guò)程（圖3（e）-（g））。外推至更高的超級(jí)拼塊，-18層將在超級(jí)拼塊的頂點(diǎn)交匯處形成。每個(gè)超級(jí)拼塊的可預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)允許通過(guò)下述迭代過(guò)程進(jìn)行超級(jí)拼塊設(shè)計(jì)。

圖 3：阿曼·貝克爾拼塊中的局部 8重對(duì)稱性。(a) 第1層8重對(duì)稱。(b) 第2層8重對(duì)稱。(c) 第3層8重對(duì)稱。(d) 第2層超級(jí)拼塊著色，以顯示原點(diǎn)參與第1層8 重形狀。(e)-(g)第 1 層8重體位于第2層超級(jí)特異性頂點(diǎn)星內(nèi)。

Ammann-Beenker拼塊：局部8重對(duì)稱的Zellij裝飾

Ammann-Beenker拼塊內(nèi)的局部對(duì)稱性始于圖3（a）中的局部幾何8重對(duì)稱拼塊。如上所述，阿曼·本克爾原型拼塊上的標(biāo)記破壞了對(duì)稱性，但拼塊形狀的排列具有d8對(duì)稱性。Ammann Beenker拼塊的遞歸結(jié)構(gòu)意味著圖3（a）的局部對(duì)稱拼塊可以由拼塊中每一層的超級(jí)拼塊組成。圖3（b）和3（c）顯示了接下來(lái)的兩層，分別由第一層和第二層超級(jí)拼塊組成，用半透明的白色覆蓋物直觀顯示。

從圖3（d）中的第二層超級(jí)拼塊開始，可以看到關(guān)于超級(jí)拼塊的八重對(duì)稱面板的可預(yù)測(cè)外觀。這些2級(jí)超級(jí)拼塊被著色以顯示哪些原拼塊參與了局部1級(jí)8重對(duì)稱。圖3（a）的1級(jí)8倍中不涉及白色原型拼塊。應(yīng)該注意的是，有了這些標(biāo)記，阿曼·本克爾原型拼塊組合由菱形和半方形以及它們的鏡像組成。在超級(jí)拼塊也是如此。從2級(jí)超級(jí)拼塊每個(gè)頂點(diǎn)附近的原型拼塊排列可以看出，這些頂點(diǎn)中的每一個(gè)都將位于某種排列的中心，這種排列在幾何上與圖3（a）的1級(jí)局部8重對(duì)稱相同。頂點(diǎn)星是給定拼塊的原型拼塊標(biāo)記所允許的在中心頂點(diǎn)相遇的拼塊排列。第二層超級(jí)拼塊的頂點(diǎn)星顯示了第二層超級(jí)拼塊頂點(diǎn)交匯處的第一層8折的生成過(guò)程（圖3（e）-（g））。外推至更高的超級(jí)拼塊，第N- 1層8重對(duì)稱將在第N層超頂點(diǎn)交匯處形成。每個(gè)超級(jí)拼塊的可預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)允許通過(guò)下述迭代過(guò)程進(jìn)行超級(jí)拼塊設(shè)計(jì)。

模塊化的8重對(duì)稱zellij圖案以中心玫瑰花結(jié)花瓣數(shù)量不斷增加的玫瑰花結(jié)為中心，用于表示局部8重對(duì)稱程度的增加（圖1和圖4）。圖4（a）-（c）顯示了第1層至第3層8重對(duì)稱的中心部分，以及它們是如何被zelij圖案裝飾的，zelij圖案具有花瓣數(shù)量遞增的中心玫瑰形圖案。這些圖案由模塊組成，包括圖4（d）中所示的可替換圖4（a）和（b）中所示拼塊面板的元素，以及圖4（d）中所示的可替換小八角形圖案下方的兩個(gè)模塊替換物。

圖4：

用于裝飾8重局部對(duì)稱的模塊化zellij。（a）1級(jí)8重中央面板和相應(yīng)的zellij裝飾。（b）2級(jí)8重中央面板及其相應(yīng)的zellij裝飾。（c）3級(jí)8重中央面板及其相應(yīng)的zellij裝飾。（d）2級(jí)和3級(jí)8重裝飾組合中的模塊化zellij元素。

多層設(shè)計(jì)過(guò)程從在原型拼塊層添加zellij裝飾開始（圖2和圖5），由K0表示。專為N超級(jí)拼塊設(shè)計(jì)的裝飾用KN表示這里的裝飾方案是根據(jù)模塊化zellij元素添加的，從原型拼塊裝飾開始，并添加到第2層到第5層的超級(jí)拼塊（圖5和圖6）。一旦知道了裝飾方案，裝飾操作KN本身可以直接應(yīng)用于任何級(jí)別的N超級(jí)拼塊，而無(wú)需通過(guò)先前的級(jí)別（圖5（c））。圖4（c）的模塊被重新著色，以用作圖6中4級(jí)8重的裝飾。

圖 5：Ammann-Beenker 超級(jí)拼塊裝飾。(a) 第2層菱形疊層的裝飾。(b) 第2層半四邊形的裝飾。(c) 第3層菱形裝飾。

圖6：阿曼·比克5級(jí)菱形超級(jí)拼塊的多層zellij裝飾。

如果被裝飾的拼塊帶有原始原型拼塊的隱藏標(biāo)記，那么就有可能將任何被裝飾的超級(jí)拼塊正確地分解成原始原型拼塊及其超級(jí)拼塊（如果這在原始拼塊中是可能的）。這樣，KN就可以對(duì)任何N級(jí)或更高級(jí)別的超級(jí)拼塊進(jìn)行操作，將其分解為N級(jí)的超級(jí)拼塊（圖 5）。置換操作N既可以在超級(jí)拼塊上進(jìn)行，也可以在原生拼塊上進(jìn)行。如果在裝飾過(guò)的N級(jí)超整數(shù)上進(jìn)行，KN裝飾就可以同時(shí)應(yīng)用到所有N級(jí)超級(jí)拼塊上，構(gòu)成N+ 1級(jí)超級(jí)拼塊。

裝飾可以改變?cè)计磯K的局部對(duì)稱性。這里的目的不是用裝飾來(lái)表示精確的對(duì)稱，而是放置一個(gè)指示真實(shí)對(duì)稱元素的位置的元素，盡管有額外的修飾。通過(guò)這種方式，底層的拼塊充當(dāng)了裝飾的腳手架，持續(xù)存在于裝飾之下(圖6)。

二元拼塊：顏色的局部五重對(duì)稱

二進(jìn)制拼塊是由圖7[6][7][15] 所示的不完全替換規(guī)則生成的。它由相同的厚和薄菱形原拼塊形狀組成，以與彭羅斯拼塊相同的相對(duì)頻率出現(xiàn)，但具有不同的標(biāo)記。二元替換規(guī)則具有弱混合特性，這使其比彭羅斯拼塊[6]具有更高的無(wú)序度。盡管如此，局部五重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱大量存在。在這種情況下，如果超級(jí)拼塊不是自相似的，則可以方便地用顏色突出局部5重對(duì)稱，稍后添加伊斯蘭幾何裝飾（圖8和9）。

圖7：二元菱形拼塊原型的替換（右箭頭）和裝飾（左箭頭）。

圖8：相鄰疊面邊緣產(chǎn)生的5重對(duì)稱性。（a）第5層厚菱形超級(jí)拼塊。(b) 第5層薄菱形超級(jí)拼塊。(c) 第6層薄菱形超級(jí)拼塊。(d) 5 重對(duì)稱局部區(qū)域的厚菱形疊加色。

圖9：五重對(duì)稱的原色裝飾。

(a) 裝飾著色方案。(b) 接近1級(jí)5重對(duì)稱性的原生拼塊裝飾的直接結(jié)果。(c)十邊形圖案的統(tǒng)一著色。

預(yù)測(cè)二進(jìn)制拼塊中超級(jí)拼塊內(nèi)對(duì)稱區(qū)域的位置并不像預(yù)測(cè)Ammann-Beenker拼塊那樣簡(jiǎn)單。當(dāng)新的五重對(duì)稱拼塊在下一層超級(jí)拼塊相鄰時(shí)，它們的中心位于沿超級(jí)拼塊共享邊緣的位置（圖8）。5級(jí)超級(jí)拼塊（圖8（a）和（b））和6級(jí)薄菱形超級(jí)拼塊（圖8（c））通過(guò)顏色變化突出顯示局部5層。這些超級(jí)拼塊的組成用下一層超級(jí)拼塊之間的黃線表示。如果尚未出現(xiàn)在復(fù)合超級(jí)拼塊中，則在下一層超級(jí)拼塊中的邊界處會(huì)出現(xiàn)5重對(duì)稱 。第1層5重對(duì)稱來(lái)自于厚的菱形原生拼塊。可以觀察到，較高層次的5重對(duì)稱是由較高層次的厚菱形超級(jí)拼塊構(gòu)成的。因此，為了按層次對(duì)5層進(jìn)行著色，當(dāng)發(fā)現(xiàn)它們涉及局部5層對(duì)稱性時(shí)，根據(jù)它們的層次用厚菱體超級(jí)拼塊替代交替著色就足夠了。圖8（d）顯示了從淺到深漸變的顏色使用，分別突出顯示了1級(jí)5重對(duì)稱中的0級(jí)粗菱面體原拼塊，2級(jí)5重對(duì)稱中的1級(jí)粗菱面體原拼塊和第3層5重對(duì)稱中的2級(jí)粗菱面體原拼塊。使用顏色漸變可以輕松延續(xù)到更高的級(jí)別（圖9（a））。

與阿曼·本克爾拼塊一樣，藝術(shù)家可以選擇在二元拼塊的任何給定有限區(qū)域內(nèi)突出顯示局部對(duì)稱的級(jí)別。根據(jù)局部同構(gòu)特性，將有一個(gè)足夠高的級(jí)別的超級(jí)拼塊來(lái)包含整個(gè)面板。較高的局部對(duì)稱性總是存在于拼塊的較大區(qū)域中。藝術(shù)家可以選擇僅突出顯示最高的局部對(duì)稱性，該對(duì)稱性可以在給定的有限圖像的上下文中容易地識(shí)別。由于局部對(duì)稱性出現(xiàn)在超級(jí)拼塊的邊緣中心，從超級(jí)拼塊裁剪的感興趣的片不應(yīng)比r更靠近超級(jí)拼塊的任何邊緣，其中r是要突出顯示的最大局部5重的半徑。在生成感興趣的面板并用顏色突出顯示局部5重對(duì)稱性之后，可以根據(jù)它們的顏色來(lái)裝飾原型拼塊。圖9（a）顯示了菱形原型拼塊的Nodir Devon裝飾方案【12】，該方案將局部5重對(duì)稱至第5層。菱形原型裝飾方案在Nodir Devon裝飾的十邊形圖案中留下了一個(gè)缺乏美感的多色形狀（圖9（b））。這很容易通過(guò)為著色方案選擇一個(gè)層次并用根據(jù)該層次的單一顏色替換整個(gè)十邊形元素來(lái)糾正（圖9（c））。與本文的其他技術(shù)相比，這可以被認(rèn)為是一個(gè)藝術(shù)干預(yù)步驟。這里，層次結(jié)構(gòu)從級(jí)別1的5重對(duì)稱開始，下降到級(jí)別5的5重對(duì)稱，非對(duì)稱著色位于最低級(jí)別。

經(jīng)過(guò)多級(jí)超級(jí)拼塊生成后，二進(jìn)制拼塊中出現(xiàn)兩個(gè)主要的視覺(jué)特征(圖8和圖10)。第一個(gè)是細(xì)菱形的彎曲線的出現(xiàn)，所有的線在它們的邊緣接觸。我將把這些細(xì)長(zhǎng)菱形的彎曲線稱為“蠕蟲”第二個(gè)特征是在不同水平上出現(xiàn)局部5重對(duì)稱，沿著蠕蟲的交替?zhèn)瘸室?guī)則排列。在未修飾的二元拼塊的視覺(jué)無(wú)序中，很難區(qū)分局部5重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的區(qū)域。通過(guò)顏色突出顯示它們以及它們沿著蠕蟲的排列，創(chuàng)建多尺度設(shè)計(jì)。

圖10：裝飾二進(jìn)制拼塊。顏色突出了1至5級(jí)的局部5重對(duì)稱以及由連接的線性排列中的薄菱形生成的“蠕蟲”。

總結(jié)和結(jié)論

這兩個(gè)例子探討了在替換拼塊遞歸結(jié)構(gòu)中，基于替換規(guī)則的增強(qiáng)來(lái)創(chuàng)建多層次設(shè)計(jì)的技術(shù)。多層次的超級(jí)對(duì)稱裝飾直觀地揭示了這些非周期性替換方格中局部對(duì)稱的縮放特性和遞歸結(jié)構(gòu)。

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青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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