雙層網(wǎng)絡(luò)中的同步、集體振蕩與信息流

Synchronization, Collective Oscillations, and Information Flow in Duplex Networks

雙層網(wǎng)絡(luò)中的同步、集體振蕩與信息流

https://arxiv.org/pdf/2603.00313

摘要

在許多現(xiàn)實(shí)世界系統(tǒng)中，部分同步是主導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)；而在大腦等系統(tǒng)中，它通常伴隨著集體振蕩，其中多個(gè)重疊的模式相互作用，產(chǎn)生復(fù)雜的節(jié)律活動(dòng)。在此，我們研究了具有反應(yīng)性層間連接的雙層網(wǎng)絡(luò)，此類(lèi)網(wǎng)絡(luò)中無(wú)法實(shí)現(xiàn)完全同步。我們表明，當(dāng)鏡像節(jié)點(diǎn)之間的層間頻率差以足夠的寬度均勻分布時(shí)，網(wǎng)絡(luò)會(huì)自組織成由多個(gè)相互作用模式組成的集體宏觀(guān)振蕩。通過(guò)將宏觀(guān)相變與節(jié)點(diǎn)間的微觀(guān)定向信息傳遞相聯(lián)系，我們揭示了這些多模態(tài)動(dòng)力學(xué)涌現(xiàn)的潛在機(jī)制。

關(guān)鍵詞： 多層網(wǎng)絡(luò)，爆炸同步，層間挫敗，層間頻率失配，集體振蕩，傳遞熵

1 引言

同步是許多自然和工程系統(tǒng)中的基本現(xiàn)象，其范圍涵蓋大腦中的神經(jīng)元群體、電網(wǎng)以及社交網(wǎng)絡(luò)等。1–3 從非相干狀態(tài)到集體同步的轉(zhuǎn)變已被廣泛研究，結(jié)果表明：隨著耦合強(qiáng)度的增加，相干行為可以逐漸（連續(xù)轉(zhuǎn)變）或突然（不連續(xù)轉(zhuǎn)變）地涌現(xiàn)。4–6 重要的是，同步不僅僅是一個(gè)宏觀(guān)結(jié)果，而是源于振蕩器之間持續(xù)的動(dòng)力學(xué)相互作用。這些相互作用產(chǎn)生了定向的影響交換，從而塑造了系統(tǒng)的集體狀態(tài)。通過(guò)傳遞熵量化這種定向信息流，7,8,10 使我們能夠?qū)⒐?jié)點(diǎn)對(duì)之間的微觀(guān)相互作用與全局同步模式聯(lián)系起來(lái)。從這個(gè)意義上說(shuō)，集體秩序的涌現(xiàn)及其性質(zhì)與網(wǎng)絡(luò)內(nèi)信息的組織結(jié)構(gòu)和重新分配方式密切相關(guān)。

先前的研究進(jìn)一步表明，在完全非相干和完全同步狀態(tài)下，總信息傳遞通常較低，并在同步轉(zhuǎn)變附近達(dá)到最大值。8 這凸顯了復(fù)雜系統(tǒng)中動(dòng)力學(xué)臨界性與增強(qiáng)信息交換之間的緊密聯(lián)系。此外，信息流的方向并非隨機(jī)：它通常起源于具有較大絕對(duì)自然頻率的節(jié)點(diǎn)或高度連接的樞紐節(jié)點(diǎn)，并向更外圍的節(jié)點(diǎn)傳播。11–13 然而，這種層級(jí)結(jié)構(gòu)并非普遍存在。系統(tǒng)參數(shù)的變化可以重組信息流的方向；例如，時(shí)間延遲已被證明能夠逆轉(zhuǎn)或重新分配節(jié)點(diǎn)間的因果影響。14 因此，時(shí)間延遲、挫敗以及層間相互作用等機(jī)制可以顯著重塑信息流模式，進(jìn)而影響宏觀(guān)動(dòng)力學(xué)和同步相變的性質(zhì)。

先前的研究揭示，在雙層網(wǎng)絡(luò)中引入反應(yīng)性層間相互作用——通過(guò)將層間挫敗設(shè)置為 π/2（注：原文“π2”疑為排版漏斜杠）——可以從根本上改變每一層內(nèi)同步的性質(zhì)。15–17 特別是，當(dāng)跨層的鏡像節(jié)點(diǎn)之間存在非零的平均頻率差時(shí)，層內(nèi)同步轉(zhuǎn)變可以從連續(xù)變?yōu)椴贿B續(xù)（爆炸性）。16 這表明，反應(yīng)性耦合與層間頻率失配的組合在重塑集體動(dòng)力學(xué)和確定每層內(nèi)同步轉(zhuǎn)變的性質(zhì)方面起著關(guān)鍵作用。

在我們之前的工作中，我們證明了在具有反應(yīng)性層間連接的雙層網(wǎng)絡(luò)中，集體動(dòng)力學(xué)不僅由平均層間頻率失配決定，還由鏡像節(jié)點(diǎn)間的頻率排列方式?jīng)Q定。15 具體而言，我們表明具有相同平均層間頻率差的兩種配置會(huì)導(dǎo)致定性上不同的行為。在一種情況下，系統(tǒng)經(jīng)歷單次爆炸同步轉(zhuǎn)變，并伴有清晰的遲滯回線(xiàn)。在另一種情況下，系統(tǒng)表現(xiàn)出雙次爆炸轉(zhuǎn)變，并伴隨序參量的振蕩，其中不同的動(dòng)力學(xué)模式共存并重疊。這些結(jié)果強(qiáng)調(diào)，層間頻率失配的詳細(xì)分布和排列在塑造涌現(xiàn)的集體行為方面起著關(guān)鍵作用。

集體振蕩通常由多個(gè)疊加的頻率模式組成，是許多系統(tǒng)的核心，從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和生化電路到電網(wǎng)、氣候系統(tǒng)以及社會(huì)或生態(tài)網(wǎng)絡(luò)。18–23 振蕩狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變——或節(jié)律性的喪失——通常標(biāo)志著關(guān)鍵變化，如功能崩潰或相變。例如，在大腦中，神經(jīng)群體在頻段（alpha、beta、gamma）上表現(xiàn)出多樣的節(jié)律，這些節(jié)律協(xié)調(diào)著信息交換和認(rèn)知過(guò)程。24–28 多個(gè)振蕩模式可以共存并相互作用，產(chǎn)生復(fù)雜的宏觀(guān)時(shí)間模式。因此，理解理論模型如何產(chǎn)生此類(lèi)集體振蕩，對(duì)于揭示涌現(xiàn)動(dòng)力學(xué)的機(jī)制以及跨學(xué)科預(yù)測(cè)、控制和優(yōu)化復(fù)雜系統(tǒng)至關(guān)重要。

盡管集體振蕩普遍存在，但其背后的機(jī)制仍然是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域。倉(cāng)本模型（Kuramoto model）為研究周期性同步提供了一個(gè)強(qiáng)大的框架。29–31 在部分同步狀態(tài)下，網(wǎng)絡(luò)可以表現(xiàn)出持續(xù)的振蕩行為；例如，具有雙峰頻率分布的全連接網(wǎng)絡(luò)可以支持極限環(huán)解。32 此外，耦合的二階倉(cāng)本振蕩器可能根據(jù)慣性和時(shí)間延遲等參數(shù)表現(xiàn)出周期性動(dòng)力學(xué)。33

另一方面，許多現(xiàn)實(shí)世界系統(tǒng)天然是多層網(wǎng)絡(luò)（multiplex networks），其中節(jié)點(diǎn)同時(shí)通過(guò)多種類(lèi)型的連接進(jìn)行交互。34–36 每一層可以代表一種不同類(lèi)型的相互作用，具有其自身的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特征。例如包括通過(guò)電突觸和化學(xué)突觸連接的神經(jīng)元，或跨越職業(yè)與在線(xiàn)平臺(tái)的社交關(guān)系。這些多層結(jié)構(gòu)無(wú)法被單層網(wǎng)絡(luò)完全刻畫(huà)，因?yàn)閷娱g相互作用強(qiáng)烈地塑造了集體行為和同步過(guò)程。37,38

2 方法

本節(jié)描述了本研究采用的方法論框架。

2.1 網(wǎng)絡(luò)模型與動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

該系統(tǒng)由耦合振蕩器組成，其行為受網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、動(dòng)力學(xué)規(guī)則以及自然頻率的分配共同塑造。這些要素共同定義了網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)圖景，為分析相變與信息傳遞提供了框架。

2.1.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

此處考慮的網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)雙層多層結(jié)構(gòu)，其中每一層均構(gòu)成一個(gè)全連接圖。層內(nèi)的節(jié)點(diǎn)代表單個(gè)振蕩器，而層間耦合則將每個(gè)節(jié)點(diǎn)與其在另一層中的鏡像對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)相連接。這種構(gòu)型使得層內(nèi)與層間相互作用得以同時(shí)存在，為研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與多層性如何影響動(dòng)力學(xué)行為提供了一個(gè)可控的框架。該雙層網(wǎng)絡(luò)的示意圖如圖1所示。

2.1.2 網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)

在定義了雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之后，我們現(xiàn)在探討控制振子時(shí)間演化的動(dòng)力學(xué)機(jī)制。每個(gè)節(jié)點(diǎn)被建模為一個(gè)相位振子，其動(dòng)力學(xué)行為由擴(kuò)展的倉(cāng)本方程描述。這一框架使我們能夠系統(tǒng)地研究層內(nèi)耦合與層間耦合如何共同影響整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中全局同步與相位相干性的涌現(xiàn)。

經(jīng)典的倉(cāng)本模型最初是為了解釋全局耦合的相位振子系綜中的自發(fā)同步現(xiàn)象而提出的。[29, 31] 隨著時(shí)間的推移，該框架已被擴(kuò)展以納入復(fù)雜且真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)特征，從而能夠研究諸如網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋄5]、多層相互作用[39]、時(shí)間延遲[40, 41]、相位受挫[42]以及自然頻率分布[15, 29]等因素如何影響集體動(dòng)力學(xué)行為的涌現(xiàn)。

如上所述，我們考慮一個(gè)雙層倉(cāng)本模型，該模型由兩個(gè)全連接層組成，每層包含 N 個(gè)振子。同一層內(nèi)的振子通過(guò)強(qiáng)度為 σ 的全對(duì)全耦合進(jìn)行相互作用，而不同層中對(duì)應(yīng)的鏡像節(jié)點(diǎn)之間則通過(guò)強(qiáng)度為 λ 的層間耦合相連。為了體現(xiàn)多層結(jié)構(gòu)在塑造系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中的作用，我們?cè)趯娱g耦合中引入了一個(gè)恒定的相位滯后參數(shù) α，該參數(shù)能夠捕捉可能顯著影響同步和動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的受挫效應(yīng)。

因此，第I層中的振蕩器i及其在第II層中對(duì)應(yīng)的鏡像節(jié)點(diǎn)的相位動(dòng)力學(xué)由以下一組耦合微分方程描述：[4]

2.1.3 雙層網(wǎng)絡(luò)中的固有頻率配置

固有頻率的分布在塑造耦合振蕩器網(wǎng)絡(luò)的同步動(dòng)力學(xué)方面起著核心作用。在雙層網(wǎng)絡(luò)中，先前的研究表明，同步不僅取決于層間的平均頻率失配，還取決于固有頻率如何分布并分配給節(jié)點(diǎn)及其鏡像對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)。因此，即使是固有頻率組織方式上的細(xì)微差異，也會(huì)導(dǎo)致定性上截然不同的集體行為。

在此，我們研究鏡像節(jié)點(diǎn)間頻率差的分布如何影響網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)。為了在不同分布之間進(jìn)行有意義的比較，我們保持層間的平均頻率差恒定，這就要求定義一個(gè)層間頻率失配的度量。

為了量化鏡像節(jié)點(diǎn)之間的失配，我們將每個(gè)節(jié)點(diǎn) i 的鏡像節(jié)點(diǎn)頻率差（mirror-node frequency difference）定義為：

2.2 信息論框架與估計(jì)方法

在確立了支配多層 Kuramoto 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)規(guī)則后，我們要尋求一種原則性的方法來(lái)量化振蕩器如何通過(guò)它們交換的信息相互影響，特別是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)趨向或遠(yuǎn)離同步時(shí)。信息論為此提供了一個(gè)自然的框架。 與關(guān)注相位相干性或頻率鎖定的傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)度量不同，信息論量揭示了某個(gè)振蕩器的狀態(tài)如何減少關(guān)于另一個(gè)振蕩器的不確定性，從而捕捉到僅憑序參量可能無(wú)法察覺(jué)的細(xì)微定向相互作用。

2.2.1 傳遞熵作為定向信息流的度量

香農(nóng)熵位于該框架的核心，為隨機(jī)變量固有的不確定性提供了定量度量。對(duì)于具有概率分布 p ( x ) 的隨機(jī)變量 X ，其熵定義為

2.2.2 使用 JIDT 估計(jì)傳遞熵

所有的傳遞熵分析均使用 Java 信息動(dòng)力學(xué)工具包（Java Information Dynamics Toolkit, JIDT） 10
進(jìn)行，這是一個(gè)專(zhuān)為在復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中估計(jì)信息論度量而設(shè)計(jì)的開(kāi)源軟件包。傳遞熵的準(zhǔn)確計(jì)算需要對(duì)聯(lián)合概率分布和條件概率分布 p ( x t + 1 , x t , y t ) 進(jìn)行可靠估計(jì)，由于采樣有限和維數(shù)災(zāi)難，這對(duì)于有限數(shù)據(jù)集，特別是高維或連續(xù)值系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，可能具有挑戰(zhàn)性。為了解決這個(gè)問(wèn)題，JIDT 實(shí)現(xiàn)了 Kraskov–St?gbauer–Grassberger (KSG) 估計(jì)量的多變量擴(kuò)展 ,，這是一種用于估計(jì)互信息及相關(guān)量（包括傳遞熵）的非參數(shù)且數(shù)據(jù)高效方法。

在我們的研究中，時(shí)間序列對(duì)應(yīng)于耦合振蕩器的相位，這些相位本質(zhì)上是周期性的
，因此需要一個(gè)能夠處理圓分布（circular distributions）和非線(xiàn)性依賴(lài)關(guān)系的估計(jì)量。多變量 KSG 估計(jì)量非常適合此目的，因?yàn)樗苑菂?shù)方式捕捉聯(lián)合概率空間的局部結(jié)構(gòu)，使其能有效分析如 Kuramoto 模型等非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

其中 1 ( ? ) 表示示性函數(shù)。由此產(chǎn)生的 p 值量化了在無(wú)定向相互作用的零假設(shè)下，觀(guān)測(cè)到的傳遞熵出現(xiàn)的可能性。我們采用了 p < 0.05 的顯著性閾值，這使得我們能夠在減輕有限樣本偏差的同時(shí)，嚴(yán)格識(shí)別振蕩器之間具有統(tǒng)計(jì)意義的信息傳遞。

3 結(jié)果

本研究的主要目的是研究雙層網(wǎng)絡(luò)中鏡像節(jié)點(diǎn)之間的頻率失配如何影響相變、群體層面振蕩行為的涌現(xiàn)，以及支配層內(nèi)和層間信息傳遞的機(jī)制。

為了系統(tǒng)地探索這些效應(yīng)，結(jié)果被組織成兩個(gè)主要部分。首先，我們研究雙層網(wǎng)絡(luò)的同步轉(zhuǎn)變及其受頻率失配的調(diào)節(jié)。隨后，我們專(zhuān)注于信息論分析，考察定向信息流如何隨層內(nèi)耦合強(qiáng)度在層內(nèi)和層間變化，特別是在相變區(qū)域。

3.1 層間頻率失配與振蕩同步

圖3比較了前圖中介紹的兩種配置在遲滯環(huán)內(nèi)的耦合強(qiáng)度（ σ = 2.34 ）下的詳細(xì)動(dòng)力學(xué)行為。特別是，對(duì)于層間頻率失配的均勻分布——即在后向轉(zhuǎn)變過(guò)程中觀(guān)察到波動(dòng)的情況——序參量在兩層同步中均表現(xiàn)出具有顯著振幅的持續(xù)時(shí)間振蕩。相比之下，對(duì)于具有高斯分布層間頻率失配的配置，這種振蕩行為是不存在的。此外，振蕩動(dòng)力學(xué)由多個(gè)共存的頻率組成，這表明不同的振蕩模式相互疊加，而非源于單一主導(dǎo)頻率。而且，在最慢頻率下，兩層中的振蕩是同相的，而在次慢頻率下，兩層之間的振蕩變?yōu)榉聪啵▍⒁?jiàn)圖3(a)）。

為了進(jìn)一步研究節(jié)點(diǎn)的局部協(xié)調(diào)行為，我們繪制了每種配置在穩(wěn)態(tài)下兩層的平均相似性矩陣。相似性矩陣中的節(jié)點(diǎn)索引已按頻率失配的大小從低到高進(jìn)行排序。在這兩種配置中，與絕對(duì)頻率失配較小的鏡像節(jié)點(diǎn)相連的節(jié)點(diǎn)，在其自身層內(nèi)表現(xiàn)出更強(qiáng)的同步性，這在相似性矩陣中心的紅色方塊區(qū)域中清晰可見(jiàn)。然而，在均勻失配配置中，當(dāng)從矩陣中心向外圍區(qū)域移動(dòng)時(shí)，會(huì)呈現(xiàn)出從同步態(tài)到非相干態(tài)的清晰梯度——這一特征在高斯失配配置中并不存在。該模式在兩層中均一致出現(xiàn)，表明外圍節(jié)點(diǎn)——即與鏡像配對(duì)節(jié)點(diǎn)具有較大絕對(duì)頻率失配的節(jié)點(diǎn)——是導(dǎo)致觀(guān)測(cè)到振蕩現(xiàn)象的主要原因。

這些振蕩的產(chǎn)生是因?yàn)樵诿恳粚觾?nèi)部，節(jié)點(diǎn)群根據(jù)其與另一層鏡像節(jié)點(diǎn)的頻率失配，在同步態(tài)與非同步態(tài)之間以“閃爍”模式交替切換。具體而言，當(dāng)具有較大（正）頻率失配的節(jié)點(diǎn)進(jìn)入同步態(tài)時(shí)，具有較小（負(fù)）失配的節(jié)點(diǎn)傾向于失同步，并且這種行為隨時(shí)間周期性地反轉(zhuǎn)，從而催生了觀(guān)測(cè)到的振蕩動(dòng)力學(xué)。此外，“閃爍”集群的規(guī)模隨時(shí)間變化，從慢模振蕩的波峰到波谷，失同步程度逐漸加劇，這解釋了相似性矩陣中從中心節(jié)點(diǎn)到外圍節(jié)點(diǎn)所呈現(xiàn)的同步梯度。值得注意的是，當(dāng)層間頻率失配呈高斯分布時(shí)，這種動(dòng)力學(xué)模式并不存在。有關(guān)這些動(dòng)力學(xué)過(guò)程的更直觀(guān)展示，請(qǐng)參閱補(bǔ)充視頻 S1。

圖 4 突出了層間頻率失配寬度對(duì)同步轉(zhuǎn)變的影響。在圖 4(c) 中，前向路徑顯示出突兀的、爆炸性的同步，而圖 4(d) 顯示后向轉(zhuǎn)變也是爆炸性的，但伴隨沿路徑的明顯波動(dòng)。重要的是，發(fā)生這些波動(dòng)的耦合強(qiáng)度范圍隨著層間頻率失配寬度的增加而擴(kuò)大。

隨著失配寬度的增加，沿前向和后向路徑的臨界耦合強(qiáng)度均向更高值移動(dòng)，反映了實(shí)現(xiàn)同步需要更強(qiáng)的層內(nèi)耦合，沿前向路徑的情況，并表明沿后向路徑，去同步化發(fā)生在更高的耦合強(qiáng)度下（見(jiàn)圖 4(e)）。這種行為源于更寬的層間頻率失配分布所導(dǎo)致的固有頻率異質(zhì)性增加，這使得同步更加困難。 31 31 盡管有這些變化，遲滯回線(xiàn)的面積基本保持不變，表明同步態(tài)與去同步態(tài)之間雙穩(wěn)態(tài)持續(xù)存在的耦合強(qiáng)度范圍是穩(wěn)健的（見(jiàn)圖 4(f)）。

我們觀(guān)察到，增加層間頻率失配寬度擴(kuò)大了沿后向轉(zhuǎn)變路徑序參量發(fā)生波動(dòng)的耦合強(qiáng)度范圍，表明對(duì)于較大的失配寬度，振蕩在更寬的耦合區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)。我們現(xiàn)在詳細(xì)檢查對(duì)于固定的層間頻率失配寬度，這些振蕩的幅度和頻率如何隨層內(nèi)耦合強(qiáng)度變化。

圖 5(a) 展示了兩層的相變和遲滯回線(xiàn)，分別用紅線(xiàn)和藍(lán)線(xiàn)表示。數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于圖 5(b) 中的頻率配置，其中 。前向轉(zhuǎn)變路徑用淺色線(xiàn)表示。后向路徑（發(fā)生振蕩且特別受關(guān)注的部分）用深色粗線(xiàn)高亮顯示。陰影區(qū)域代表序參量的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)差，在遲滯回線(xiàn)內(nèi)隨層內(nèi)耦合強(qiáng)度的增加而增加。

圖 5(c, e, 和 g) 展示了兩層序參量的時(shí)間演化，紅線(xiàn)和藍(lán)線(xiàn)分別表示，對(duì)應(yīng)于圖 5(a) 中垂直虛線(xiàn)標(biāo)記的三個(gè)層內(nèi)耦合值。在長(zhǎng)時(shí)標(biāo)（慢模式）下，兩層的動(dòng)力學(xué)是同相的，而在短時(shí)標(biāo)下它們表現(xiàn)出反相行為。此外，跨這些面板的比較顯示，減小層內(nèi)耦合強(qiáng)度會(huì)導(dǎo)致每層內(nèi)慢頻振蕩的幅度逐漸減小，并伴隨波長(zhǎng)的增加。在遲滯回線(xiàn)內(nèi)較小的層內(nèi)耦合值處，慢模式消失。

層 II 的時(shí)間平均相位相似性矩陣顯示在與對(duì)應(yīng)時(shí)間演化相同的行中，針對(duì)相似的層內(nèi)耦合強(qiáng)度。由于兩層的結(jié)果相似，僅展示層 II 的矩陣。如同在圖 3(a) 中，與具有相似頻率的鏡像節(jié)點(diǎn)耦合的節(jié)點(diǎn)傾向于在層內(nèi)同步。在較高的層內(nèi)耦合處，觀(guān)察到明顯的振蕩，相似性矩陣揭示了從同步組到去同步組的清晰梯度，從中心節(jié)點(diǎn)向外圍節(jié)點(diǎn)推進(jìn)——即從與鏡像節(jié)點(diǎn)具有較小絕對(duì)頻率失配的節(jié)點(diǎn)到具有較大失配的節(jié)點(diǎn)。這進(jìn)一步證實(shí)了觀(guān)察到的梯度源于振蕩。與補(bǔ)充視頻 S1 中展示的動(dòng)力學(xué)一致，具有較大絕對(duì)頻率失配的節(jié)點(diǎn)——通常是相似性矩陣中的外圍節(jié)點(diǎn)——在振蕩的峰值開(kāi)始去同步化。隨著振蕩接近其最小值，去同步化區(qū)域擴(kuò)大，產(chǎn)生重復(fù)的“閃爍”模式，在相似性矩陣的左右兩側(cè)交替出現(xiàn)同步和去同步狀態(tài)。

這些結(jié)果揭示了層間頻率失配配置、振蕩動(dòng)力學(xué)的涌現(xiàn)以及每層內(nèi)局部同步模式之間的直接聯(lián)系。這些振蕩的幅度及其跨節(jié)點(diǎn)和層的相位關(guān)系表明，層內(nèi)和層間的信息傳播受到潛在頻率異質(zhì)性的強(qiáng)烈影響。為了量化這種效應(yīng)，我們現(xiàn)在采用一種信息論方法，檢查個(gè)體層內(nèi)和跨層的定向信息傳遞。該分析提供了頻率失配如何塑造整個(gè)雙層網(wǎng)絡(luò)中的協(xié)調(diào)和信息流的詳細(xì)表征。

3.2 傳遞熵分析

為了更深入地理解支配同步的動(dòng)力學(xué)相互作用，我們利用傳遞熵（TE）框架對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析，這是一種無(wú)模型的定向信息傳遞度量。 7
TE 量化了源振蕩器的過(guò)去狀態(tài)在超出目標(biāo)振蕩器自身歷史所包含信息的基礎(chǔ)上，能在多大程度上減少目標(biāo)振蕩器未來(lái)狀態(tài)的不確定性，從而捕捉因果相互作用的強(qiáng)度和方向性。

在 Kuramoto 振蕩器網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)間的信息傳遞通常在相變點(diǎn)附近最高，此時(shí)系統(tǒng)處于部分同步狀態(tài)且相互作用攜帶的信息量最大，而在非相干和完全同步狀態(tài)下則會(huì)降低。在這些臨界點(diǎn)，固有頻率的異質(zhì)性和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（例如節(jié)點(diǎn)度、樞紐節(jié)點(diǎn)）會(huì)產(chǎn)生不對(duì)稱(chēng)的影響，從而增強(qiáng)定向信息流：高頻節(jié)點(diǎn)傾向于主導(dǎo)動(dòng)力學(xué)，樞紐節(jié)點(diǎn)通常充當(dāng)集體起搏器向邊緣節(jié)點(diǎn)發(fā)送信息，而低度節(jié)點(diǎn)主要影響其局部鄰域。因此，高頻或高度節(jié)點(diǎn)通常充當(dāng)主要的信息源，而其他節(jié)點(diǎn)則充當(dāng)信息匯。時(shí)間延遲、挫敗或?qū)娱g相互作用等外部因素可以改變這種層級(jí)結(jié)構(gòu)，使得原本占主導(dǎo)地位的節(jié)點(diǎn)預(yù)測(cè)性降低，并在網(wǎng)絡(luò)中重新分配 TE。在下文中，我們將考察這些原則如何在具有不同類(lèi)型層間耦合的雙層網(wǎng)絡(luò)中體現(xiàn)。

面板 (a) 和 (b) 顯示同步轉(zhuǎn)變是連續(xù)的，沒(méi)有遲滯：前向和后向分支在兩層中重疊，證實(shí)了當(dāng)移除挫敗時(shí)不存在爆炸同步。面板 (b) 高亮顯示了轉(zhuǎn)變區(qū)域，并指出了用于層 II 傳遞熵分析的耦合強(qiáng)度。面板 (c–d) 展示了節(jié)點(diǎn)對(duì)之間相互傳遞熵的熱圖，這些熱圖是在層 II 后向分支上沿層內(nèi)耦合強(qiáng)度 σ = 0.78 , 0.80和 0.82 計(jì)算的。這些數(shù)值接近系統(tǒng)在同步態(tài)與去同步態(tài)之間轉(zhuǎn)變的臨界耦合。矩陣旁的邊緣曲線(xiàn)顯示了行和與列和，分別代表每個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)送和接收的總傳遞熵。所有報(bào)告的傳遞熵值均具有統(tǒng)計(jì)顯著性，通過(guò)了 p < 0.05 的時(shí)移代理檢驗(yàn)。

正如預(yù)期的那樣，在轉(zhuǎn)變點(diǎn)之前的相干狀態(tài)中，節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的信息傳遞幾乎為零。隨著耦合在轉(zhuǎn)變區(qū)域內(nèi)增加，矩陣中出現(xiàn)了獨(dú)特的信息流模式。傳遞熵在轉(zhuǎn)變點(diǎn)達(dá)到最大值，而整體流動(dòng)模式在整個(gè)區(qū)域內(nèi)保持基本一致。與先前的研究一致，信息主要是根據(jù)節(jié)點(diǎn)絕對(duì)頻率的排名進(jìn)行傳遞的，即從高頻節(jié)點(diǎn)流向低頻節(jié)點(diǎn)。此外，具有較高絕對(duì)固有頻率的節(jié)點(diǎn)充當(dāng)更強(qiáng)的信息發(fā)送者（源），而最有效的信息接收者（目標(biāo)）則是具有中等絕對(duì)固有頻率的節(jié)點(diǎn)，既非極高也非極低。

此外，傳遞熵矩陣（面板 (d) 和 (e)）顯示，沿后向路徑，隨著耦合減小，有影響力的節(jié)點(diǎn)數(shù)量減少，最終只剩下那些具有最小頻率失配的節(jié)點(diǎn)。這一觀(guān)察結(jié)果與面板 (b) 中的結(jié)果一致，即沿后向路徑減小層內(nèi)耦合會(huì)導(dǎo)致平均總傳遞熵的減少。這種減少的發(fā)生是因?yàn)橥郊旱闹行膮^(qū)域——即主要驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)的部分——隨著層內(nèi)耦合的減小而收縮（參見(jiàn)圖 5 中的熱圖）。

圖 7 展示了層 II 內(nèi)的信息流，而補(bǔ)充圖 SF1 展示了層 I 中相應(yīng)的流動(dòng)，這與圖 8 中的情況相似，表明跨層行為的一致性。補(bǔ)充圖 SF2 提供了詳細(xì)的視圖，展示了傳遞熵矩陣是如何從代理檢驗(yàn)中推導(dǎo)出來(lái)的。

盡管每層中固有頻率的分布不同——一層設(shè)為零，另一層取自均勻分布——但層 I 和層 II 之間的傳遞熵沒(méi)有優(yōu)先方向。這一觀(guān)察結(jié)果表明，跨層相互作用主要由鏡像節(jié)點(diǎn)的絕對(duì)固有頻率失配支配，該失配充當(dāng)層間影響的主要驅(qū)動(dòng)源。

最后，對(duì)比圖 6、7 和 8 顯示，層間傳遞熵值高于層內(nèi)傳遞熵值。此外，當(dāng)存在層間挫敗且相互作用為反應(yīng)性時(shí)，層內(nèi)傳遞熵值也會(huì)增加。

4 討論

在這項(xiàng)研究中，我們通過(guò)將 Kuramoto 模型擴(kuò)展到多層系統(tǒng)，研究了雙層網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)。我們重點(diǎn)關(guān)注層間相互作用——從耗散性到反應(yīng)性（挫敗）連接——以及層間頻率失配的分布如何影響集體行為。特別是，我們考察了它們對(duì)同步轉(zhuǎn)變、振蕩動(dòng)力學(xué)的涌現(xiàn)以及層內(nèi)和跨層信息傳遞模式的影響。

對(duì)于連續(xù)轉(zhuǎn)變，具有最大絕對(duì)固有頻率的節(jié)點(diǎn)充當(dāng)主要驅(qū)動(dòng)者，向其他節(jié)點(diǎn)傳遞信息，而具有中等頻率的節(jié)點(diǎn)是最有效的接收者。接近網(wǎng)絡(luò)平均頻率的節(jié)點(diǎn)對(duì)信息流的貢獻(xiàn)最小。這種層級(jí)模式構(gòu)成了同步逐漸且有序涌現(xiàn)的基礎(chǔ)。

引入反應(yīng)性層間連接顯著重塑了層內(nèi)動(dòng)力學(xué)和信息傳遞模式，改變了哪些節(jié)點(diǎn)充當(dāng)驅(qū)動(dòng)者或接收者。每個(gè)節(jié)點(diǎn)同時(shí)受到層內(nèi)和層間耦合的影響。在遲滯區(qū)域內(nèi)，具有較小層間頻率失配的節(jié)點(diǎn)首先同步，并充當(dāng)主導(dǎo)信息源，驅(qū)動(dòng)具有較大失配的節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)。隨著層內(nèi)耦合 σ 的增加，具有較大失配的節(jié)點(diǎn)逐漸加入同步群體，參與層內(nèi)和層間信息流。這一過(guò)程創(chuàng)造了有利于集體振蕩涌現(xiàn)的條件。

因此，爆炸同步作為層間頻率排列與反應(yīng)性連接相互作用的宏觀(guān)后果而涌現(xiàn)，這種相互作用重組了層內(nèi)信息流。沿序參量后向路徑涌現(xiàn)的集體振蕩對(duì)層間頻率失配的分布高度敏感。通過(guò)系統(tǒng)地改變鏡像節(jié)點(diǎn)頻率差的分布形態(tài)和寬度，我們表明這些因素關(guān)鍵地決定了振蕩行為的范圍、幅度和模態(tài)。

當(dāng)兩層中的固有頻率取自不同的高斯分布時(shí)，我們可以構(gòu)建具有相同平均失配但分布不同的層間排列——高斯分布與均勻分布。兩種排列均產(chǎn)生爆炸同步，但多模態(tài)集體振蕩僅出現(xiàn)在均勻?qū)娱g失配的情況下。雖然在這兩種情況下層內(nèi)信息的一般流動(dòng)是相似的——從同步核心流向更非相干的外圍節(jié)點(diǎn)——但動(dòng)力學(xué)存在差異：高斯排列產(chǎn)生較大的核心，外圍節(jié)點(diǎn)平滑加入；而均勻排列涉及大量節(jié)點(diǎn)難以同步，從而引發(fā)明顯的振蕩。

通過(guò)控制均勻?qū)娱g失配的寬度，我們進(jìn)一步表明，更寬的分布擴(kuò)大了序參量發(fā)生振蕩的層內(nèi)耦合 σ 范圍；此外，增加 σ 會(huì)增強(qiáng)這些振蕩的幅度。這些振蕩是多模態(tài)的：最慢模式涉及跨層序參量的同相振蕩，而次慢模式顯示反相關(guān)系。這些模式的疊加——結(jié)合中心-外圍同步與外圍節(jié)點(diǎn)間的局部擴(kuò)散——產(chǎn)生了豐富的“閃爍”動(dòng)力學(xué)，這可能為理解大腦網(wǎng)絡(luò)中普遍觀(guān)察到的多模態(tài)振蕩是如何組織的提供啟示。

總之，我們的結(jié)果表明，層間連接挫敗和層間頻率失配的分布共同支配相變和振蕩動(dòng)力學(xué)的涌現(xiàn)。通過(guò)將宏觀(guān)同步和多模態(tài)振蕩與微觀(guān)定向信息流聯(lián)系起來(lái)，本工作為理解復(fù)雜模式如何從多層系統(tǒng)中的網(wǎng)絡(luò)相互作用中涌現(xiàn)提供了見(jiàn)解。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.00313