可積系統(tǒng)、弱可積系統(tǒng)和不可積系統(tǒng)

Lax Pairs: Integrable, Less Integrable and Nonintegrable Systems

松弛對(duì)：可積系統(tǒng)、弱可積系統(tǒng)和不可積系統(tǒng)

https://arxiv.org/pdf/2603.09224

摘要.

得益于劉維爾和阿諾德的工作，完全可積的有限維哈密頓系統(tǒng)已得到充分理解。另一方面，KdV方程的Lax對(duì)表述標(biāo)志著完全可積理論向無限維哈密頓系統(tǒng)擴(kuò)展的開端。對(duì)于允許Lax對(duì)表述的系統(tǒng)，若Lax對(duì)能導(dǎo)出一個(gè)無窮完備的守恒律集合，其初值問題的解通常具有良態(tài)（溫和）的定性行為。然而，即使在一維空間中，初邊值問題的情況也有所不同。存在一些問題，其可積性得以保持，且可證明其具有規(guī)則（長(zhǎng)時(shí)間漸近）行為；也存在另一些問題，其中甚至?xí)霈F(xiàn)不規(guī)則的“具有分形混沌外觀的”行為。在這篇短文中，我們回顧了每種情況的一個(gè)實(shí)例。我們還將本文內(nèi)容與實(shí)直線上受擾Lax對(duì)方程現(xiàn)有理論的結(jié)果建立了聯(lián)系。

1. 引言

KdV方程的Lax對(duì)表述[20]標(biāo)志著完全可積系統(tǒng)理論向無限維哈密頓系統(tǒng)擴(kuò)展的開端。對(duì)于允許Lax對(duì)表述的系統(tǒng)，若其初值滿足無窮遠(yuǎn)處的某種衰減或收斂條件或是周期性的，則其初值問題已得到充分理解，這使得通過反演方法（反散射或反譜代數(shù)幾何方法）求解成為可能。一個(gè)關(guān)鍵事實(shí)是，Lax對(duì)會(huì)產(chǎn)生無窮多個(gè)守恒律。通過選取適當(dāng)?shù)某踔狄源_保守恒量為有限，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)約化以存在一組完備的作用量-角變量，該系統(tǒng)在如下意義下是完全可積的：其解可歸結(jié)為求解（一維空間情形下的）（局部）Riemann-Hilbert分解問題，或（高維空間情形下的）非局部Riemann-Hilbert分解問題或 ? ˉ ?ˉ-問題。此類問題通常定義在黎曼曲面上，且適合進(jìn)行漸近分析。對(duì)于局部Riemann-Hilbert分解問題，人們應(yīng)用所謂的非線性穩(wěn)相法和最速下降法；已有大量文獻(xiàn)，例如參見[9]、[19]。對(duì)于 ? ˉ ?ˉ-問題，結(jié)果較少（例如Perry [22]）；對(duì)于非局部Riemann-Hilbert分解問題，參見Donmazov、Liu和Perry [11]。

然而，對(duì)于初邊值問題，情況則有所不同，即使在一維空間中也是如此。存在反演方法的一種推廣（即由Fokas及其合作者發(fā)展的“統(tǒng)一變換方法”）[12]、[13]、[14]、[15]。但該方法的一個(gè)關(guān)鍵特征是，它所需的邊界數(shù)據(jù)值比適定問題所給定的要多。這帶來了兩個(gè)重要后果。首先，它在某種程度上降低了漸近公式的有效性程度，因?yàn)檫@些公式涉及與Dirichlet數(shù)據(jù)和Neumann數(shù)據(jù)均相關(guān)的散射數(shù)據(jù)信息；而Neumann數(shù)據(jù)僅以非常隱含的方式給出。如果我們能證明Dirichlet-to-Neumann映射是穩(wěn)定的，這還不算太糟。然而最關(guān)鍵的是，給定適當(dāng)類別（以使統(tǒng)一變換理論適用）的某些Dirichlet數(shù)據(jù)，Neumann數(shù)據(jù)是否也落在可處理的類別中，這完全不清楚。這是繼續(xù)推進(jìn)前必須解決的問題。

更具體地說，在三次NLS情形下，Dirichlet數(shù)據(jù)的知識(shí)足以使問題適定，但統(tǒng)一變換方法還需要Neumann數(shù)據(jù)的值。因此，在應(yīng)用統(tǒng)一變換之前，研究Dirichlet-to-Neumann映射是必要的。在文獻(xiàn)[1]、[2]中，我們對(duì)一大類衰減Dirichlet數(shù)據(jù)的該映射進(jìn)行了嚴(yán)格研究。我們證明了Dirichlet-to-Neumann映射是穩(wěn)定的，且Neumann數(shù)據(jù)也具有充分的衰減性，從而統(tǒng)一變換方法可以應(yīng)用。這些結(jié)果將在下一節(jié)中給出。

在第三節(jié)中，我們討論長(zhǎng)時(shí)間漸近行為，若Neumann值屬于適當(dāng)類別，則可通過Riemann-Hilbert方法予以證明。

在第四節(jié)中，我們展示了Arthur、Dorey和Parini進(jìn)行的一些精美的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，這些實(shí)驗(yàn)清楚地表明，具有初值和Robin邊界條件的Sine-Gordon初邊值問題的行為中存在不規(guī)則性。此外，Dirichlet邊界函數(shù) u ( x , 0 ) 似乎是無界的。這是一個(gè)清晰的實(shí)例，說明某個(gè)允許Lax對(duì)表述的問題卻不可積：添加邊界和邊界條件，即使確保問題唯一可解，也可能保持或不保持可積性！

在第五節(jié)中，我們將關(guān)于初邊值問題的結(jié)果與Lax方程擾動(dòng)初值問題的現(xiàn)有結(jié)果進(jìn)行比較。在第六節(jié)中，我們展示了一個(gè)尚未能證明Neumann值具有適當(dāng)衰減性的問題的數(shù)值結(jié)果。盡管如此，所得結(jié)果仍與假設(shè)其衰減時(shí)所預(yù)期的相符。

2. NLS

考慮定義在實(shí)正半軸 R + 上的具有三次非線性的NLS方程

另一方面，眾所周知[23]，具有三次非線性的非線性薛定諤方程（NLS）可以寫成Lax對(duì)的形式，并且至少Cauchy問題是“完全可積”的；這意味著存在無窮多個(gè)處于Poisson對(duì)合（Poisson involution）中的守恒律，此外該問題可以通過散射變換線性化。這并不意味著存在真正的顯式解（bona fide explicit solution）。充其量，反散射問題（重寫為Riemann-Hilbert分解問題）可以進(jìn)行有效的漸近處理。可以提供有效的長(zhǎng)時(shí)間、長(zhǎng)距離和半經(jīng)典漸近公式：它們要么非常顯式地依賴于初值，最壞情況下也僅通過求解簡(jiǎn)單的線性常微分方程組（ODEs）來依賴。

在[15]中，作者利用統(tǒng)一變換方法（unified transform method）求解實(shí)正半軸上的問題，給定了初值和Dirichlet數(shù)據(jù)（這使得問題適定）以及Neumann值 P ( t ) : = q x ( 0 , t ) 。該理論運(yùn)作所要求的是Neumann函數(shù)（以及Dirichlet數(shù)據(jù)）屬于某個(gè)具有良好衰減性質(zhì)的類，以便統(tǒng)一散射變換能夠被恰當(dāng)定義。這正是我們要給出的定理的內(nèi)容：我們提供了幾個(gè)相當(dāng)包容的大類Dirichlet數(shù)據(jù)，使得Dirichlet和Neumann值在 t → ∞ 時(shí)衰減得足夠快，從而散射方法可以運(yùn)作。因此[15]適用，Riemann-Hilbert分解問題是可能的，并且顯式漸近公式（長(zhǎng)時(shí)間[15]、長(zhǎng)空間，甚至是半經(jīng)典[18][16]）是可用的。這些公式不如Cauchy問題的公式有效。原因是通常情況下Dirichlet-to-Neumann映射是非常隱含的。因此，出現(xiàn)在漸近公式中的一些函數(shù)涉及與Neumann邊界值相關(guān)的散射數(shù)據(jù)；這些無法被有效計(jì)算。盡管如此，這里的Dirichlet-to-Neumann映射是連續(xù)的；在后面的章節(jié)中，我們將考慮依賴性可能非常不穩(wěn)定的更復(fù)雜問題。

我們關(guān)于散焦情形的主要結(jié)果如下，參見[2]。

此外，如果 Dirichlet 數(shù)據(jù)屬于 Schwartz 類，那么 Neumann 數(shù)據(jù)也屬于 Schwartz 類。Dirichlet-to-Neumann 映射在適當(dāng)?shù)目臻g中是連續(xù)的。

如前所述，這意味著 Riemann-Hilbert 分解問題是可能的，并且可以得到顯式的長(zhǎng)時(shí)間漸近公式。 在下一節(jié)中，我們將給出散焦情形的主要長(zhǎng)時(shí)間漸近公式。

3. 長(zhǎng)時(shí)間漸近性

從 Riemann-Hilbert 表述中，人們可以推導(dǎo)出精確的長(zhǎng)時(shí)間漸近性。對(duì)于散焦 NLS，這最早是在 [8] 中完成的。他們的計(jì)算是針對(duì)初值問題的。然而，由于初邊值問題的 Riemann-Hilbert 問題實(shí)際上非常相似，同樣的計(jì)算得出了如下長(zhǎng)時(shí)間漸近性，正如 [15] 中所引用的，

如果沒有孤子存在，在聚焦情形下也成立一個(gè)非常相似的漸近公式（這在 [1] 中對(duì)于零初值數(shù)據(jù)和小 Dirichlet 數(shù)據(jù)已被證明為真）。然而，一般情況下，假設(shè)統(tǒng)一理論適用，人們將不得不加上一組孤子項(xiàng)的和。在長(zhǎng)時(shí)間下，這些孤子會(huì)分離，最高的也是最快的。因此，對(duì)于一組有限的特定 x / t 值（對(duì)應(yīng)于孤子速度），主導(dǎo)漸近項(xiàng)由一個(gè) 1-孤子公式給出，其參數(shù)依賴于對(duì)應(yīng)于給定（初值和 Dirichlet）數(shù)據(jù)以及 Neumann 值的散射系數(shù)！關(guān)于實(shí)際細(xì)節(jié)，參見 [15] 的附錄 B。當(dāng)然，如果我們不知道如何控制 Neumann 值——而目前我們確實(shí)不知道——就沒有什么被嚴(yán)格證明。充其量我們可以提供一些令人信服的數(shù)值結(jié)果來表明情況確實(shí)如此：漸近性由一組有限個(gè)向右傳播的孤子和一個(gè)衰減項(xiàng)給出。這正是我們?cè)诘?6 節(jié)中所做的。

我們?cè)诒竟?jié)最后簡(jiǎn)要評(píng)論一下周期情形：考慮具有衰減初值數(shù)據(jù)和周期性 Dirichlet 數(shù)據(jù)的聚焦 NLS。解在長(zhǎng)時(shí)間下是否是漸近周期的，這是一個(gè)未決問題（open question）。同樣，一個(gè)關(guān)鍵的要素將由關(guān)于 Neumann 值的漸近周期性的信息提供。關(guān)于一些理論分析和一些數(shù)值結(jié)果，我們參考文獻(xiàn) [4]，這些結(jié)果暗示在某些情況下存在“可積性”，但該問題在一般情況下仍然是未決的。

4. 具有Robin邊界條件的Sine-Gordon方程

遵循[3]，我們考慮方程

5. 與實(shí)直線上受擾NLS的比較

6. 半直線上聚焦NLS的數(shù)值逼近

7. 結(jié)論。接下來是什么？

允許Lax對(duì)表述的偏微分方程的初邊值問題可以導(dǎo)出完全可積系統(tǒng)，這些系統(tǒng)能夠通過反散射和Riemann-Hilbert變形方法進(jìn)行處理。然而，即使對(duì)于一些最簡(jiǎn)單的Lax對(duì)方程，也存在某些初邊值問題，其中看似合理的數(shù)據(jù)會(huì)引發(fā)不規(guī)則的“分形-混沌”行為，導(dǎo)致（現(xiàn)有的）反演方法無法適用。

我們能否更好地理解這種情況何時(shí)發(fā)生以及為何發(fā)生？能否給出分別導(dǎo)致可積性與不可積性的完備邊界條件集合？不可積性是否存在多個(gè)程度（或?qū)哟危浞秶鷱拇嬖诟鞔_或較不明確的漸近公式，到表現(xiàn)出完全不規(guī)則且無法局部描述的行為？是否存在這樣一種可能：Lax對(duì)的存在（或某種意義上的可積性）與具有恰當(dāng)自相似結(jié)構(gòu)的真正分形行為的存在相關(guān)聯(lián)？

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.09224