解讀微積分之謎，看看天才數學家是如何思考的！

微積分的歷史可以這樣描述：一條來自柏拉圖（Plato，前427—前347），經阿基米德、伽利略、卡瓦列里和巴羅的積累，到牛頓發生根本質變，形成了運動學特征的微積分；另一條來自德謨克利特（Demokritos， 前460～前370），經開普勒、費馬、帕斯卡和惠更斯的積累，到萊布尼茲發生根本質變，形成了原子論性質的微積分。牛頓(Isaac Newton，1643—1727)在1665—1667年間所做的工作和萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716)在1673—1684年間所做的工作就分別是這兩條主線上的各自的質變。它們是微積分演化史上不朽的里程碑。

李文林老師的《數學珍寶》一書，收錄了古今中外最經典的一百篇數學著作。其中，在“微積分的制定與分析的形成”一章中，收錄有開普勒、卡瓦列里、費馬和沃利斯等先驅們的啟發性著述，以及牛頓和萊布尼茨發明微積分時的詳細文獻資料。這使得我們可以一睹先賢的風采，進而了解歷史上偉大的數學家們是怎樣思考問題的。

開普勒（Johannes Kepler，1571—1630）不僅在天文學上聞名于世，其在數學上也是積分學的先騎。他的《測量酒桶的新立體幾何》一文，系統整理了阿基米德（Archimedes，前287—前212）的幾何學研究，對其主要結論給出新的證明方法——“夾逼法”，例如圓周率約是22/7，圓與其外切正方形面積之比是11：14等。而且，開普勒進一步推廣了他的“夾逼法”，對一般旋轉體比如橢圓的體積進行了有效地估計。

開普勒之后，卡瓦列里（Cavalieri，1598—1647）發表《不可分量的幾何學》一文，是對阿基米德的“窮竭法”嘗試進行原理上的解釋。卡瓦列里認為，點的大小和線段的面積等都是不可分量，不可分量的累加形成宏觀幾何體。不可分量思想直接啟迪了后世的牛頓和萊布尼茨。

隨著笛卡爾（Rene Descartes，1596—1650）和費馬（Pierre de Fermat，1601—1665）發明解析幾何，幾何與代數融匯，微分法進入幾何中，其中以法國業余數學家費馬的《求極大值與極小值的方法》一文（1637年手稿）為代表。費馬引入了增量的概念，然后讓總的增量為零，略去高次方項，便得到求極大值與極小值的方法。并且，費馬將這個方法用于切線研究，成功給出了拋物線在任意一點處的切線公式。

另一方面，不借助幾何的無窮算術也在牛津大學幾何教授沃利斯(John Wollis，1616—1703)的天才直覺下蓬勃發展，他的《無窮算術》一文，是分析進入數學的標志。下面的實例將說明這一問題。

在巴羅（Isaac Barrow，1630—1677）的教導下，在上述著作的影響下，牛頓橫空出世，他的數學和力學思想成為開啟近代科學之門的金鑰匙，其著作《自然哲學的數學原理》更是科學研究的范本。1665年，牛頓開始研究切線問題，切線的斜率對應運動學上的速率，牛頓發現，假如路程和時間各自增加自身的小o倍，那么方程依然成立，并且在略去小o的高次方項后，增量的比正好是速率。

牛頓的小o法可以推廣到任意方程之中，而方程對應幾何曲線，于是，任意曲線在任意點處的切線問題便被牛頓完美地解決了！牛頓還發現了小o法的逆過程，可以由速度方程求出位移方程。他將這兩種計算方法整理成流數法，并且認為，小o便是卡瓦列里所說的不可分量。

流數法的第一部分，被稱為“正流數術”，是已知流量間的關系求流數間關系的問題，牛頓通過實例給出了一般的計算方法。這對應之后的隱函數求導問題。流數法的第二部分，被稱為“反流數術”，是已知流數間的關系，求流量間關系的問題，牛頓也通過實例給出了一些計算方法。這便是之后的微分方程的求解問題。

由于小o的無限小特性實在難以把據，牛頓在晚年拋棄了不可分量思想，改用“首末比不是無窮小增量之比，而是比的極限”來描述流數，極限的概念被柯西（Cauchy，1789—1857）所繼承，成為應對第二次數學危機的重要工具。

牛頓的流數法很晚才正式發表，在此之前，只有他一人了解這種算法。而對于微積分的傳播，萊布尼茨居功至偉，他發明的微分和積分符號，至今沿用。1684年，萊布尼茨發表了第一篇微分學論文，這也是數學史上第一篇正式發表的微積分文獻。此文系統闡釋了他1673年以來的思考結果，定義了微分，給出了微分的一般算法和應用。

萊布尼茨認為，微分dx，dy等是實實在在的無窮小量，它與相應的x,y的瞬時增量成正比，將方程中的項以微分算式表示便得到微分方程，而微分方程的求解則是逆轉微分算法。

兩年后，萊布尼茨的第一篇積分學論文發表，其中定義了積分符號是sum中s的拉長，代表微分的和，積分與微分是互逆的運算，求面積求路程是積分問題，求切線求速度是微分問題。萊布尼茨證明，任意曲線與橫坐標組成的曲邊梯形的面積，其隨坐標的變化速率曲線，正好是本曲線沿坐標軸的平移結果，這一定理在后世被稱為牛頓-萊布尼茨公式。它標志著微積分的正式發明。

歲月悠悠，一晃五十年，正當人們為微積分的強大與精準而驚嘆時，一位神學大主教貝克萊（George Berkeley，1685—1753）以其嚴謹的形式邏輯，指出了微積分計算過程中的致命錯誤：小o或微分到底是不是0，為什么可以忽略高次項。它動搖了微積分的邏輯基礎，引發了歷史上第二次數學危機！