新型 “二維碼” 解開數學中最棘手的紐結——譯自量子雜志Quanta Magazine

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借助一種新發現的數學工具，研究人員希望能以前所未有的視角洞察復雜紐結的結構。

數學家最近發明了一種區分紐結的新方法：為每個紐結生成一個彩色的 “二維碼”。

圖源：Dror Bar-Natan, Roland van der Veen; Quanta Magazine

作者：埃麗卡?克拉賴希（Erica Klarreich，量子雜志特約記者）2026-4-22

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-4-23

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引言

從電腦線的纏繞，到貓咪把你的編織籃弄得一團糟，紐結在日常生活中無處不在。它們也遍布科學領域，出現在 DNA 環、相互纏繞的聚合物鏈以及旋轉的水流中。而在純數學領域，紐結是拓撲學中許多核心問題的關鍵。

然而，紐結理論家們仍在為一個最基本的問題苦苦掙扎：如何區分兩個紐結。

僅僅通過觀察，很難判斷兩個復雜的紐結是否具有相同的結構。即便它們看起來截然不同，你也有可能通過挪動一些繩結，將一個變成另一個。（在數學家看來，紐結的兩端始終是閉合的，因此這類挪動不會將其解開。）

在過去一個世紀里，紐結理論家們開發出了一套清晰但并不完美的工具，用于區分紐結。這些工具被稱為紐結不變量，它們各自衡量紐結的某個特征 —— 或許是其交織繩結形成的圖案，或許是其周圍空間的拓撲結構。如果你用一個不變量測量兩個紐結，得到不同的結果，就證明這兩個紐結是不同的。但反過來并不一定成立：如果不變量給出相同的結果，這兩個紐結可能相同，也可能不同。

有些不變量區分紐結的能力更強，但存在一個權衡：這些更強的不變量往往難以計算。“大多數不變量要么能力極強但無法計算，要么容易計算但能力極弱。” 悉尼大學的丹尼爾?圖本豪爾（Daniel Tubbenhauer）說。

當紐結的繩結交叉數達到 15 次或 20 次時，許多不變量就開始失效 —— 要么無法區分大量紐結，要么計算難度變得過高。多倫多大學的德羅爾?巴爾 - 納坦（Dror Bar-Natan）表示，對于大多數紐結不變量而言，“如果你說‘300 次交叉’，然后再說‘計算’這個詞，那簡直是科幻小說里的事。”

十交叉點的紐結復雜度

彼得?格思里?泰特（Peter Guthrie Tait）1885 年一篇論文中的一頁，他在這篇論文中區分了 10 個交叉點的不同紐結。

圖源：彼得?格思里?泰特（Peter Guthrie Tait）

但如今，巴爾 - 納坦（Bar-Natan）與荷蘭格羅寧根大學的羅蘭?范德維恩（Roland van der Veen）共同提出了一種紐結不變量 https://arxiv.org/abs/2509.18456 ，它讓數學家不必在兩種弊端之間做選擇：它既強大又易于計算。“它似乎正處于能誕生驚人成果的最佳平衡點。” 未參與這項研究的圖本豪爾（Tubbenhauer）說。

這種強大與快速的結合，意味著數學家可以探索此前遙不可及的紐結。對于交叉數多達 300 次的紐結，計算這個新不變量輕而易舉，巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）甚至已經計算出了交叉數超過 600 次的紐結的部分不變量信息。

“從某種意義上說，我們是憑直覺摸索出來的。” ——格羅寧根大學的羅蘭?范德維恩（Roland van der Veen）

“這一突破堪比一種新型望遠鏡：它不僅在熟悉的范圍內提供更清晰的分辨率，還將我們的探索范圍擴大了 10 倍。” 耶路撒冷希伯來大學的吉爾?卡萊（Gil Kalai）說。

對于每個紐結，這個不變量會輸出一個彩色的六邊形 “二維碼”，其對稱性與精致細節堪比雪花。“輸出結果美得驚人，變化多到難以置信。” 不列顛哥倫比亞大學的利亞姆?沃森（Liam Watson）說，“它仿佛來自另一個世界。”

數學家希望這些復雜的圖案能指引他們發現單個紐結更深層的拓撲特征。“你立刻就會好奇，” 沃森（Watson）說，“究竟是這個特定紐結的什么特征，產生了這樣獨特的圖案？”

紐結的分類筐

想象一個游戲：你畫出一個紐結，嘗試用紅色、黃色或藍色為每根繩線染色。規則是必須至少使用每種顏色一次，且在每個交叉點處，要么三種顏色都出現，要么只出現一種。有些紐結可以這樣染色，有些則不能 —— 例如，三葉結可以染色，而八字結不行。

繩線與交叉點

可三色染色 | 不可三色染色

圖源：Mark Belan/量子雜志

無論你如何進一步纏繞某個給定的紐結，如果它一開始是 “可三色染色” 的，那么它始終保持這一屬性。同理，不可三色染色的紐結也始終如此。這使得三色染色法成為一種紐結不變量。

計算一個紐結是否可三色染色并不難，但這個不變量區分紐結的能力并不強。它僅將紐結分為兩類：可三色染色的和不可三色染色的。如果你要區分的紐結恰好屬于同一類，那就無計可施了。你可以通過使用更多顏色和規則，以及統計紐結的染色數量（而非僅判斷能否染色）來改進不變量。這些優化能創造出更強的不變量，但計算難度也會隨之增加。

“這一突破堪比一種新型望遠鏡。” —— 耶路撒冷希伯來大學的吉爾?卡萊（Gil Kalai）

在過去一個世紀里，紐結理論家們提出了數百種不變量。借助這些工具，他們成功整理出了20 個及以下交叉點的超過 20 億個紐結的目錄 https://msp.org/agt/2025/25-1/agt-v25-n1-p12-p.pdf —— 考慮到既易于計算又能力強大的不變量十分稀缺，這是一項壯舉。說到識別紐結，“我們百年來紐結理論擁有的工具并不算特別出色。” 圖本豪爾（Tubbenhauer）說。

部分原因在于，最強大的紐結不變量往往源于對紐結內部深層拓撲結構的研究。但很少有紐結理論家既精通這些理論概念，又掌握設計易于計算的不變量所需的計算知識。

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）是這一規則的例外 —— 他們既是理論學家，又是熟練的程序員。他們的新不變量源于深刻的拓撲思想，但目前他們主要專注于打造快速且強大的不變量。沃森（Watson）表示，在紐結理論中，這種將可計算性作為優先考量的做法 “在學術文化上是全新的”。

紐結高速公路

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）研究新不變量的歷程始于 20 年前，當時他試圖理解帶狀紐結—— 沿著自身穿過的帶狀邊界延伸的紐結。這項工作促使他重新研究一種格外強大的不變量 ——孔采維奇積分（Kontsevich integral），它包含了許多其他紐結不變量。數學家推測，這個不變量強大到可以區分所有紐結。

“我開心了大約五分鐘。” 巴爾 - 納坦（Bar-Natan）說。隨后他提醒自己，從實際應用來看，孔采維奇積分根本無法計算。“它只是一個抽象存在的東西，但你無法從它推導出任何關于現實紐結的結論。”

復雜度遞增的 “方形編織” 紐結的二維碼

圖源：德羅爾?巴爾 - 納坦（Dror Bar-Natan）、羅蘭?范德維恩（Roland van der Veen）

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）開始嘗試用更易計算、同時保留其核心價值信息的不變量來近似孔采維奇積分。存在一組自然的不變量序列，能越來越細致地捕捉孔采維奇積分的細節。但除了序列中的第一個不變量外，沒人知道如何高效地完整計算這些不變量。

“輸出結果美得驚人，變化多到難以置信。它仿佛來自另一個世界。” —— 不列顛哥倫比亞大學的利亞姆?沃森（Liam Watson）

2015年在奧胡斯大學的一場講座上，巴爾 - 納坦（Bar-Natan）分發了一份描述其研究目標的講義 https://www.math.toronto.edu/drorbn/Talks/Aarhus-1507/index.html 。講義底部用大號紫紅色斜體字寫著：“急需幫助！” 臺下的范德維恩（van der Veen）響應了這一呼吁。兩人攜手合作，試圖找到突破序列中第一個不變量的方法。

他們首先研究序列中的第一個不變量：亞歷山大多項式，它于1923年被發現。在紐結領域，多項式將紐結的測量值轉化為數字與變量冪次的組合，例如 3x?+8。（亞歷山大多項式還包含 x 的倒數的冪次。）在過去一個世紀里，數學家提出了數十種計算紐結亞歷山大多項式的方法。巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）著手推廣其中一種方法，并最終用交通流的語言進行了表述。

把紐結想象成一條單向高速公路，在某處剪開，使其有起點和終點。再想象每兩個交叉點之間都有一座城市。如果一輛車從高速公路起點出發，它會依次駛過每座城市一次，然后從終點駛出。

1. 剪開你的紐結高速公路

2. 在每個交叉點前后設置城市

3. 車輛單向行駛，依次經過城市

要構建亞歷山大多項式，想象在每個交叉點處，從上層通道到下層通道有一個可選的下行匝道。當車輛到達上層通道時，有一定概率（設為 x）會選擇走下行匝道而非上層通道。（實際設置更復雜，有時會涉及 x 的倒數。）

現在，車輛不一定會恰好駛過每座城市一次。假設你在邁阿密派出 100 輛車，詢問有多少車流會經過亞特蘭大。有些車可能會經過亞特蘭大一次，有些則可能多次經過或完全繞過。通過亞特蘭大的預期車流量可以寫成一個關于 x 的函數，它能刻畫紐結繩線相互纏繞的信息。

對于每兩座城市，你都可以構建一個交通流函數。這些函數的簡單組合就能生成亞歷山大多項式，也就是孔采維奇積分的一階近似。

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）認為，通過創建一個包含兩種車輛、以不同概率（例如 x 和 y）走下行匝道的交通場景，或許可以為不變量序列的第二步寫出類似公式。但盡管付出諸多努力，他們始終沒能找到可行的交通流設置。直到有一天，他們從亞原子粒子數學中獲得了靈感。

就像粒子可以結合或分裂成其他粒子一樣，巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）設想他們的兩種車輛有時會結合形成第三種交通工具 —— 仿佛一輛車被另一輛牽引。兩輛車會作為一個整體駛過高速公路，之后可能再次分離，各自行駛。你依然可以計算從邁阿密出發的車流中有多少會經過亞特蘭大，但這一次，你還會追蹤不同的車輛類型。

15 個帶有不同紅藍圖案的六邊形

300個及以上交叉點的多個紐結的二維碼

圖源：德羅爾?巴爾 - 納坦（Dror Bar-Natan）、羅蘭?范德維恩（Roland van der Veen）

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）確信自己找到了正確的設置，但他們仍不知道如何組合所有交通流函數，直接生成一個紐結不變量。不過，他們的設置讓他們對這類不變量的整體 “形態” 有了直觀認識。于是他們采用了一個經典技巧：直接寫出一個符合整體形態的公式，然后調整系數，確保即便紐結繩線被挪動，公式依然保持不變。

“從某種意義上說，我們是憑直覺摸索出來的。” 范德維恩（van der Veen）說。

最終得到的結果是一個包含變量 x 和 y 的復雜多項式，讓其他研究人員感到困惑。“你用車輛、匝道和概率做了這么復雜的操作，而無論你采用紐結的何種形態，得出的結果都保持一致 —— 這太神奇了。” 悉尼大學的祖扎娜?丹喬（Zsuzsanna Dancso）說，“他們到底是怎么想出來的？”

紐結之夢

盡管這個多項式看起來復雜，但計算機可以輕松計算，即便對于數百個交叉點的紐結也是如此。而且它能力極強：例如，圖本豪爾（Tubbenhauer）計算得出，該不變量能唯一識別超過 97% 的 18 個交叉點的紐結。相比之下，最常用于整理紐結目錄的瓊斯多項式識別率約為 42%，亞歷山大多項式僅約 11%。

“我認為沒有任何不變量在可計算性和相對能力上能與它媲美。” 沃森（Watson）說。

研究人員將多項式的系數繪制成一種熱圖，創造出了引人注目的視覺效果 —— 每個紐結對應一個華麗的六邊形二維碼。二維碼不同的兩個紐結，必定是不同的紐結。

紐結的編碼

復雜的紐結很難區分。研究人員公布了一種區分方法：為每個紐結生成一個特殊多項式，可將其可視化為彩色 “二維碼”。

1. 1） 三葉結的多項式包含 12 項

2. -x2 -x2 -y2 -x2y2 +xy2 +x2y +xy +x2y +x2y -y2 +xy2 -x2y2

3. 
   

2）要生成二維碼，將多項式的每一項表示為一個點。以變量 x 的指數作為點的第一個坐標，變量 y 的指數作為點的第二個坐標。

(-2,0) (2,0) (0,-2) (-2,-2) (-1,-2) … (2,2)

3）系數為正，則將點標為紅色，系數為負，則標為藍色。系數：項所乘的數字，此處為 -1。

(-2,0)(2,0) (0,-2)(-2,-2) (-1,-2)... (2,2)

注：系數絕對值越大，顏色越深。本例中所有系數均為 1 或 - 1，因此顏色強度相同。

4）將所有點繪制在平面上，然后平移所得圖形，生成更對稱的二維碼。

繪制點 → 施加剪切變換 → 將點渲染為六邊形

二維碼不同的兩個紐結，必定是不同的紐結。

圖源：Mark Belan/量子雜志

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）預計，這個二維碼除了區分紐結外，還有諸多用途。在他們論文題為 “故事、猜想與夢想” 的章節中，他們提出二維碼可能有助于闡明廣泛的紐結拓撲特征。例如，他們認為六邊形的直徑將為衡量紐結復雜度的指標 ——紐結虧格（這對曲面研究也至關重要）—— 設定一個下限。丹喬（Dancso）表示，如果這一點得到證實，“這意味著我們將能更精準地計算大型紐結的虧格。”

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）、范德維恩（van der Veen）以及其他研究人員都確信，這個新不變量等價于孔采維奇積分的二階近似，數學家稱之為雙圈多項式，并已對其研究了數十年。

https://arxiv.org/abs/math/0003187

https://arxiv.org/abs/math/0005284

https://msp.org/gt/2007/11-3/p04.xhtml

“我愿意用我的房子打賭。” 北卡羅來納大學教堂山分校的列夫?羅贊斯基（Lev Rozansky）說，他是最早研究雙圈多項式的學者之一。

傳統形式的雙圈多項式難以計算，但拓撲內涵豐富。因此，證明這種等價性將立即證實巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）賦予其新不變量的大部分拓撲能力。即便如此，作者仍希望最終能用更簡單的方式解釋這個新不變量。“一個基礎構造理應擁有簡潔的解釋。” 他們寫道。

從某種意義上說，他們覺得自己只是偶然闖入了故事的中間部分。“我們對故事的開頭和結尾都不甚了解。” 他們寫道。

與此同時，研究人員可以嘗試創建包含更多車輛和變量的交通流設置，試圖刻畫孔采維奇積分中存儲的越來越多的信息。“還有一整類相似的事物正等待我們去發現。” 范德維恩（van der Veen）說。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/a-powerful-new-qr-code-untangles-maths-knottiest-knots-20260422/

https://arxiv.org/abs/2509.18456

https://msp.org/agt/2025/25-1/agt-v25-n1-p12-p.pdf

https://www.math.toronto.edu/drorbn/Talks/Aarhus-1507/index.html

https://arxiv.org/abs/math/0003187

https://arxiv.org/abs/math/0005284

https://msp.org/gt/2007/11-3/p04.xhtml

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