陶哲軒強(qiáng)推！這可能是今年最值得讀的一本數(shù)學(xué)科普書！

話不多說，先來看看頂尖數(shù)學(xué)大師們對這本書的評價：

數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎得主陶哲軒說“這本書展現(xiàn)了一段真誠的數(shù)學(xué)之旅：數(shù)學(xué)思考是一段充滿探索與犯錯，并需要逐步糾正錯誤、提升理解力的精彩旅程。”

數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎得主雨果·杜米尼-科潘評價這本書說“精彩！如果你好奇我們做數(shù)學(xué)時在想什么，那你就必須讀一讀這本書。”

《歡樂數(shù)學(xué)》作者本·奧林說：這是一本能幫助人們提升數(shù)學(xué)能力的罕見好書。書中充滿了俏皮的故事，以及富有創(chuàng)造力的指導(dǎo)性意見，能助你成為更好的“數(shù)學(xué)人”。

《微積分的力量》作者史蒂夫·斯托加茨贊譽(yù)說：我完全被這本書迷住了。無論你愛數(shù)學(xué)還是誤以為自己恨數(shù)學(xué)，都應(yīng)該讀一讀這本書。它講清楚了數(shù)學(xué)究竟是什么。我真的無法形容自己有多喜歡這本書。這是我長久以來讀過的最精彩的書之一。

期待值直接拉滿！

《數(shù)學(xué)覺醒：學(xué)會更清晰地思考》這本書是畢業(yè)于巴黎高等師范學(xué)院（ENS）數(shù)學(xué)專業(yè)的戴維·貝西（David Bessis）所著，書中揭示了數(shù)學(xué)思維才是高級“軟實力”，全書幾乎不用任何一個公式做到，深入淺出的語言，進(jìn)而讓人人都能具備清晰思考的能力。

也因此，這本書一上市就成為打動全球數(shù)學(xué)家和“學(xué)霸”的奇書。

今天就讓我們一起看看這本書的精彩之處吧！

來源 | 《數(shù)學(xué)覺醒：學(xué)會更清晰地思考》

作者 | [法]戴維·貝西（David Bessis）

譯者 | 趙曉蕊

第三章 思想的力量

想象一個完美無缺的圓形。一個最普通的圓，你看到它了嗎？在現(xiàn)實生活中，完美的圓并不存在。當(dāng)你在紙上畫一個圓時，它總會有些小瑕疵。無論是太陽、自行車車輪，還是水面上的漣漪，它們都不是完美的圓。但這不會妨礙你理解我的意思，或想象出一個完美的圓。

你不僅可以想象這個圓，還能真的看到它。你可以在腦海中移動它，將它放大或縮小，也可以隨心所欲地擺弄它。

看到現(xiàn)實生活中不存在的東西，感受它就在你的面前，在腦海中自由移動它，仿佛你可以觸摸它——這就是你的魔法之一。

在真正理解數(shù)學(xué)的道路上，這里就是你的起點。

01

了不起的抽象能力

完美的圓是一種數(shù)學(xué)抽象。如果圓對你來說是熟悉的物體，那是因為你和其他所有人一樣，擁有與生俱來的數(shù)學(xué)抽象能力。

你的抽象能力不僅限于數(shù)學(xué)。無論你是否愿意，你都會花時間抽象地看待世界。這是你的身體的生理特征。你的大腦是一臺機(jī)器，從你的感覺輸入中創(chuàng)造抽象概念并在思想上控制它，就像你的肺從空氣中提取氧氣，并將其轉(zhuǎn)移到血液中一樣。

這怎么可能呢？我們將在第 19 章談?wù)撨@個主題，看看大腦結(jié)構(gòu)如何自然地制造和控制抽象概念。

在那之前，即使你不完全理解這種奇跡是如何發(fā)生的，你也必須承認(rèn)：你可以看到一個圓。

02

了不起的推理能力

一條直線能與圓相交于三個點嗎？

別急，這里沒有陷阱。試著自己找到答案，想象一條直線與圓相交的所有方式，看看是否在某些情況下形成了三個交點。

結(jié)果是否定的，一條直線不能與圓相交于三個點。

你覺得答案是顯而易見的嗎？這是因為你和其他所有人一樣，擁有了不起的數(shù)學(xué)推理能力。你不僅可以想象直線和圓等抽象物體，還可以問出關(guān)于這些物體的抽象問題，并在腦海中控制它們，從而找到這些問題的答案。

答案對你來說是顯而易見的，但如果有人告訴你，他沒有理解，你該怎么辦？

你可能會試著從頭解釋：“你看這兒……”但這么做收效甚微。對方之所以不能理解，是因為他不能像你那樣清楚地看到圓和直線。解釋數(shù)學(xué)道理，就是讓別人看到他們未曾見過的東西。

你的推理同時用到了直覺和視覺。在你的腦海中，它看起來像一部動畫片，主角是一個圓和一條直線。這種推理非常有效，但很難用語言表達(dá)。語言無法完全表達(dá)你在腦海中看到的所有微妙之處。

經(jīng)過數(shù)學(xué)訓(xùn)練，你可以學(xué)會把視覺直覺轉(zhuǎn)化為嚴(yán)格的證明。這種轉(zhuǎn)化永遠(yuǎn)不會完美。即使是簡單的直覺，表達(dá)起來也很費口舌。它在腦海里非常簡單，一旦寫下來，就變得困難而復(fù)雜了。

03

了不起的直覺

能看到你腦海里想什么的人，唯有你自己。只有將你在腦海中看到的事物嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剞D(zhuǎn)譯為語言和符號，你才能與他人交流——盡管這個過程非常辛苦。這也是你確保直覺沒有出錯的唯一方法。

因為你的直覺有時會出錯。

你對此非常清楚，盡管你不喜歡別人提醒你這一點。想激怒一個人，取笑他的外表屢試不爽，但說他的直覺有錯也幾乎能達(dá)到同樣的效果。一般來說，這種做法會觸發(fā)以下兩種防御機(jī)制之一：要么這人覺得自己沒用，產(chǎn)生自卑情結(jié)，不再思考；要么他覺得自己一定是對的，認(rèn)定他人愚不可及（同時也不再思考了）。

然而，還有第三種可能。當(dāng)愛因斯坦或笛卡兒被人指出直覺有錯時，他們沒有感到沮喪。他們不會妄自菲薄，更不會蔑視他人。他們會產(chǎn)生另一種反應(yīng)——如何產(chǎn)生這種反應(yīng)，也是貫穿本書的主題之一。

在學(xué)校里，我們被教導(dǎo)要對直覺保持警惕，這里犯了兩個錯誤——它們是阻礙你的智力發(fā)展的重大錯誤。

錯誤一：夸大事實。你的憤怒并無必要。確實，你的直覺有時會出錯，但不會一直出錯。你的直覺通常是對的。你可以讓它正確的次數(shù)越來越多。經(jīng)過訓(xùn)練，它可以看得更清楚、更仔細(xì)。數(shù)學(xué)家也曾和你站在同一個起點上，建立了強(qiáng)大、可靠、富有遠(yuǎn)見的直覺。他們用簡單的方法（比如本書中教授的方法）做到了這一點。

錯誤二：學(xué)校往往只強(qiáng)調(diào)了直覺的局限性，卻不提直覺的優(yōu)勢。直覺是不完美的——你將這一點牢記在心。這個信息確實重要，但學(xué)校忽略了另一條更重要的信息：你的直覺是你最強(qiáng)大的智力之源。從某種意義上說，它甚至是你唯一的智力之源。

這些可不是空話，我不打算說些廢話來奉承你。

這一切的背后隱藏著一條深刻的生物學(xué)真理，我們會在后文中詳細(xì)討論。這是非常實際的道理，你已經(jīng)體驗過無數(shù)次了。你很清楚，背誦、應(yīng)用現(xiàn)成的方法，或逐行推理，并不是真正的理解。這就是為什么你永遠(yuǎn)不會完全相信邏輯論證，而是更愿意依賴直覺來理解。

04

想象力的天賦

你早就知道，自己的直覺十分強(qiáng)大。你不敢堅定地大聲說出來，但你總是暗中相信自己的直覺。

你可能不知道，在所有偉大的科學(xué)革命和最困難的數(shù)學(xué)理論的背后，都是直覺在發(fā)揮作用，這些直覺總是與你的直覺一樣簡單。

愛因斯坦腦海里的一部動畫片使他提出了相對論，這部動畫片并不比讓你看到一條直線不能與圓相交于三個點的圖更復(fù)雜。

當(dāng)愛因斯坦說他相信直覺時，他指的并不是一種與我們截然不同的、與生俱來的特殊直覺。如果他真的是這么想的，他就不會說自己“沒有特別的天賦”了。

盡管令人困惑，但我們必須接受這個現(xiàn)實。愛因斯坦談?wù)摰氖瞧胀ǖ闹庇X，即人人都有的直覺，人們通常認(rèn)為它不夠成熟，學(xué)校也教我們不要相信它。

愛因斯坦說的就是我們想象事物的能力。這份天賦人人有份，你可能覺得它不起眼，但它彌足珍貴，我們也無法奢求更多。

如果你像愛因斯坦一樣，學(xué)會利用簡單而單純的想象力，成為你這個時代最偉大的物理學(xué)家，你也會像他一樣，說偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)只來自好奇心（而人們不會把你的話當(dāng)真）。

即使你沒有提出相對論，你也已經(jīng)做出一些讓人刮目相看的事情了。

你可以在腦海中看到一個圓。

你可以在腦海中移動它。

你可以從視覺上向自己證明，一條線不能與圓相交于三個點。

閉上眼睛站著不動，你就能完成這一切。也就是說，你可以通過思想的力量來完成它。

據(jù)我們所知，這種生物學(xué)能力似乎專屬于人類。如果河馬也知道如何做到這一點，它們可藏得挺深。

如果你成功做到了這些事，那就放心吧：你所擁有的遺傳潛力和智力，能讓你成為非常擅長數(shù)學(xué)的人。從生物學(xué)的角度來看，這些就夠了。真誠、耐心、勇氣和愿望——盡管這些因素不是遺傳的，但你也可以輕松擁有。

05

構(gòu)建清晰有力的圖像

偉大的想法總是直觀而簡單的，甚至簡單得不可思議。我們也只能理解顯而易見的東西。如果某些東西并不顯而易見，那是因為它們還沒有被真正理解。

這是一條關(guān)于人類認(rèn)知的普遍見解：我們的科學(xué)是由人類發(fā)明的，從更深的層次來講，人類都是由相同的物質(zhì)組成的。

一些人本來只是試圖理解一些東西，卻在這個過程中做出了偉大的發(fā)現(xiàn)。他們只想把事物弄清楚，使其顯而易見。他們就算不明白，也不會裝成理解了的樣子。他們繼續(xù)尋找正確的道路、正確的心理圖像、正確的觀察方式，直到事物變得顯而易見。

好消息是，用這種方法，他們只能發(fā)現(xiàn)顯而易見的東西。你總有一天也會對這些東西有同樣的感受，所以你沒有理由被嚇倒。

這種方法適用于所有智力創(chuàng)造領(lǐng)域，尤其是數(shù)學(xué)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)知識并不基于實驗數(shù)據(jù)，無須積累百科全書式的知識。特別是，數(shù)學(xué)書里除了顯而易見的證明，貌似什么也沒有（這里的意思是，數(shù)學(xué)基于清晰的證明，這意味著每個結(jié)果都可以分解為一組顯而易見的推論。）

矛盾之處在于，要使一件事顯而易見，你必須首先構(gòu)建心理表征。一旦構(gòu)建好，你就可以輕松地看到這些心理圖像。但構(gòu)建心理表征需要耗費大量時間和精力。

不知不覺中，你已經(jīng)為“什么是圓”構(gòu)建了一個相當(dāng)好的心理圖像。你必須對其他物體重復(fù)對圓所做的事情，并構(gòu)建其他心理圖像，然后結(jié)合它們來構(gòu)建更多的心理圖像。

沒有人天生就擁有現(xiàn)成的圖像，也沒有人立即就能構(gòu)建這些圖像。

構(gòu)建這些圖像花費的時間比我們想象的要更長。對每個人來說，它都由遲疑、試錯、迷路和重啟組成。這個過程將持續(xù)我們一生。

無論你是否研究數(shù)學(xué)，你對世界的看法和心理圖像都在不斷演變。

數(shù)學(xué)家的傳說就是從這里開始的。這不是成為超人的神奇秘訣，而是幫你構(gòu)建更好的心理圖像的簡單原則。這里的關(guān)鍵在于，你能否重拾構(gòu)建自己的世界觀的方式。

你知道，想保持健康，就要鍛煉身體、多吃蔬果、潔身自好、睡眠充足。但你能說出一些有助于構(gòu)建清晰有力的心理圖像的基本原則嗎？

人們一直都說要進(jìn)行邏輯思考，然而你暗下決心，只相信自己的直覺——但直覺的問題，還沒被真正解決。

你只會毫無章法地應(yīng)付問題，并錯誤地認(rèn)為自己的直覺時對時錯，要是這樣，你就無法做出進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)了。在這種情況下，不管你能成功學(xué)會什么，都是一個奇跡。

在下一章中你將看到，你已經(jīng)擁有了堅實的數(shù)學(xué)直覺。也許你自認(rèn)為數(shù)學(xué)很差，但其實你已經(jīng)理解的數(shù)學(xué)概念，在 99% 的人類歷史中是只有天才才能理解的。你已經(jīng)構(gòu)建出了清晰、有力的心理圖像，并且每天都在使用它們。

《數(shù)學(xué)覺醒：學(xué)會更清晰地思考》

作者：[法]戴維·貝西（David Bessis）

譯者：趙曉蕊

菲爾茲獎得主陶哲軒、雨果·杜米尼強(qiáng)推！《歡樂數(shù)學(xué)》作者本·奧林、《微積分的力量》作者史蒂夫·斯托加茨、《數(shù)學(xué)的邏輯》作者鄭樂雋、數(shù)學(xué)巨匠伊恩·斯圖爾特等誠摯推薦！

打動全球頂級數(shù)學(xué)家的奇書！全書沒有一個公式卻講透數(shù)學(xué)思維這一高級“軟實力”！讓數(shù)學(xué)幫我們培養(yǎng)清晰思考的能力，塑造認(rèn)知和思維！掌握真正有用的學(xué)習(xí)能力。

作者：[法] 米卡埃爾?洛奈（Micka?l Launay）

譯者：歐瑜

驚訝！是思考的起點；

數(shù)學(xué)，是理解世界本質(zhì)與萬物關(guān)聯(lián)的工具！

以數(shù)學(xué)為起點，以思考為快樂！

法國數(shù)學(xué)學(xué)會“達(dá)朗貝爾獎”得主科普名作。

數(shù)學(xué)，是理解世界本質(zhì)與萬物關(guān)聯(lián)的工具，它能制造兩個指南針：一個叫“實用”，一個叫“優(yōu)雅”。不懂得數(shù)學(xué)的意義，就無法真正學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)。

科學(xué)家為什么那么聰明？因為他們有非凡的思考方法。

以數(shù)學(xué)為工具，以思考為快樂；培養(yǎng)自己的思考力、觀察力，成為真正的思考者。